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吳惕華 張貴軍 蔡滿軍

1  引言

    水資源規劃調度是一個古老的問題，可追溯到人類文明早期的防洪、供水活動中。人類社會早期文明（如中國、印度、歐洲以及中美洲）在一定程度上體現在他們對水資源管理及利用的能力上（Jay R. Lund, 2001）。隨著人口集聚及城市的出現，使水資源供需之間的矛盾日見端倪，從而出現了早期的優化調度思想。早在古羅馬時代人類就將定量分析和優化的思想應用在了水資源的規劃上（Frontinus 97 AD，Leveau1993）。隨著現代社會工業生產能力的提高，城市人口的不斷增加及人們生活水平的不斷改善，對城市供水系統的要求也越來越高，使城市供水管網規模及復雜性不斷提高，傳統經驗調度方法不僅耗費了大量的能源（水、電能），而且使管網的壓力分布極其不合理，已遠不能滿足人們對水資源的需求。我國（尤其是北方地區）是一個嚴重缺水的國家，數以百計的城市供水系統所采用的傳統的恒壓供水方式不僅浪費了大量的水資源，而且還消耗了大量的電能，即使如此，也不能滿足人們的供水需求。因此，建立城市優化供水系統是我國為實施可持續戰略急待解決的重大課題之一。

    現代城市優化供水系統的設計目標是整個供水系統在全面蓄調的基礎上實現經濟調度和優化運行的目的，建立功能齊全、完整配套的集水源、制水、配水監控于一身的城市供水調度廣域網絡系統。建立合理有效的城市供配水優化調度數學模型是實現城市優化供水系統的關鍵，其建模內容一般包括原水的計劃調度和實時調度、正常工作狀態和非正常工作狀態下的制水調度、配水計劃調度和實時調度等三類。城市供水企業SCADA系統的推廣及城市供配水管網GIS系統的相繼建立、完善，為優化調度數學模型的數據準備提供了實現的可能；現代優化理論和方法的發展提供了優化調度建模的理論基礎；計算機技術的發展為優化調度模型解算提供了實現上的保障?；趦灮{度模型的城市供水系統結合企業生產過程的SCADA系統、企業現代化管理MIS/GIS系統和網絡自動抄表收費AMR系統，組成了城市自來水綜合自動化解決方案，從根本上解決城市優化供配水的問題。該方案是保證我國建成節水型城市，實現供水企業和國際接軌的重要措施。本文就有關建立城市供配水優化調度數學模型及算法仿真問題作一全面綜述。

2  供配水系統優化運行的建模問題

    城市供配水系統優化調度在不同的文獻中有不同的定義[1~2]，本文將所研究的優化調度定義為：根據供配水系統的歷史記錄和實時運行的信息，確定系統今后一個調度周期中各時間段內各種調節裝置（如水泵的開停、閘閥的啟閉，貯水池水位的升降等）的運行情況，在保證系統的服務質量（水量、水壓和水質）下，最大限度的提高供水系統的經濟效益和社會效益。

    供配水系統優化運行的建模問題包括：供配水量預測模型、供配水網絡分析模型及優化調度模型。用水量預測與需求分析屬于優化運行實施的前期工作，也是進行供配水系統優化運行的基礎和前提，它的準確程度直接影響到調度運行的可靠性及實用性[3]；供配水網絡分析模型與管網運行分析可以作為優化調度模型必要的約束條件；而最終的目的則是建立優化調度模型以實現供配水系統的優化運行。

2.1  供配水系統用水量預測模型
    實際的供水調度中，主要是對日用水量和時用水量的預測。預測方法一般分為兩類：解釋性預測方法和時間序列預測方法。前者認為輸入變量的變化會引起系統輸出變量的變化，也就是說系統的輸入和輸出之間存在著某種因果關系。對于用水量的輸入量一般要考慮氣象、人口增長、工商業分布、居民活動及節假日作用等影響因素。這種模型對輸入變量的精度要求較高，特別是當離線控制時，需要對次日整天的用水量進行預測，這就要求次日的天氣、居民活動等預報資料精度較高，否則誤差可能較大。后者是把系統當成一個黑箱，可以不管其影響因素，只關心觀測和預測的結果，其預測過程只依賴于歷史觀測數據和它的數據模式。用水量預測中常用的模型有指數平滑模型、自回歸（AR）模型[12]、滑動平均（ARMA）模型[3]、灰色預測模型[2]、動態組合預測模型[4]、自適應組合預測模型[5]、基于RBF神經網絡模型[58]、模糊邏輯系統（FLS）和人工神經網絡（ANN）[74]。此外，國外最新還研制出了基于環境和氣候影響的用水量預測的決策支持系統（DSS）和分析模型[6]。

    另外，用水量預測在空間上可分為總水量預測和節點用水量預測。前者是指預測系統內每日或每時的用戶用水量，這類預測采用的算法很多，它主要是為宏觀模型的優化運行服務的；后者是預測分配到各系統節點的用水量，它的建模比較復雜，主要是為微觀的模型服務的，國外一些發達國家在這方面進行了許多有益的探討并進行了實際的應用[7~9]。

2.2  供配水系統網絡分析模型
    要對城市供水系統的運行進行優化調度決策，必須建立與供水系統的外部特征相吻合的數學模型，科學、準確、定量地描述系統中各個變量之間的關系。該模型可體現在供配水系統優化調度模型中的約束條件中。由優化調度的步驟可以看出，建立實際供水系統的網絡分析模型是實現優化運行的先決條件。其中，供水系統中管網的分析和計算是兩個重要模塊。一方面通過對用戶用水的要求，管網的管道的阻耗系數、配水泵的流量―揚程特性、管網的等水壓線的分析、確定管網的合理布置、管徑大小、管網測壓線的分析；另一方面，針對已有管網分布及其特性建立管網的特性分析模型，用來分析管網對供水的影響。國內外學者在這方面進行了大量的研究，歸納起來大致可分為微觀模型、宏觀模型和管網集結模型。

    (1)  微觀模型
    微觀模型是在盡可能考慮管網的拓撲結構及管網各元素（如管道管徑、管長、管材等）、節點用水量等主要參數的水力學關系的基礎上，構造出供水管網拓撲結構模型。這種模型的基本數學方程包括質量平衡和能量平衡兩大部分，可用如下三個方程表示[2]：
    節點方程：   (1)

    回路方程：   (2)

    壓降方程：   (3)

    目前，求解上述方程的方法已相當成熟，有節點水頭法、環流量法和管段流量法等。以節點水壓為求解變量的牛頓迭代法[67]為最有效的方法之一。

    微觀模型對系統的變化及節點用水量分布的變化適應性強，即便水池或主干管中斷也只需將管網拓撲關系校正后仍可應用上述方程進行系統工況模擬仿真。但是，其缺點也很明顯，需要大量的建模數據。應用上述微觀模型的前提是已知管網各節點的節點流量及管道的摩阻系數；然而，節點流量是依賴用戶用水量而隨機變化的量，是最難以確定的值；管道摩阻系數受管道敷設年限、管道腐蝕及結垢等因素而發生變化，其變化值也難以解析；其次，模型的校核工作量大，計算時間長，耗費大。這些因素在一定程度上影響了微觀模型的實際應用。

    (2)  宏觀模型
    由美國學者Robert Demoyer Jr.[10]在1975年提出的，之后國內外許多的學者都致力于這項研究。這類模型的主要思想是利用獲取的幾種重要的管網參數（如測壓點壓力、泵站出口壓力、泵站出水量、水池水位及系統的用水量等）以統計分析理論為基礎，建立系統網絡的（結構性）分析模型，其數學描述可表示為[3]：

       (4)

    (4)式右端一般為多項式，通過回歸分析可確定具體的函數形式，論文[89]中給出了其中的一種函數形式。

    管網宏觀模型的特點是建模所需數據量少，建模快，計算效率高。但是適用范圍有一定的限制，當系統用水量及其它已知參數變化幅度較大的時候，可能產生明顯的誤差。如當某水池或主干管中斷時，宏觀模型需要重新獲取原始數據，進行回歸分析、校正，建立新的模型形式。

    (3)  管網集結模型
    為了克服水系統管網微觀模型的缺點并能充分利用宏觀模型的優點，近年來提出了供水系統管網集結模型[11]，該模型是建立在微觀模型的基礎上的。所謂管網集結其實就是一種簡化網絡結構的方法，它把整個配水管網劃分為p個區域，使管網中每個節點必須且僅屬于一個區域。通常區域的劃分原則是：同區域內的各節點壓力大致相等，用水規律相仿。將每個區域中的所有節點集結在一起，形成一個虛擬的節點，區域（即用虛擬節點組成的）之間的關聯用一條虛擬的管道表示，這樣原來的管網模型（微觀模型）就簡化為一個新的管網模型，稱之為集結模型。集結模型不僅在計算上節約了計算時間，而且在建模上更科學合理且符合實際，對于多水庫聯合調度的問題其效果更加明顯。該模型在宏觀模型和微觀模型之間提供了一種很好的折衷的方法。

2.3  供配水系統優化調度模型
    在供水系統的需水量和管網模型確定之后，就可以對系統供水進行優化調度。優化調度就是為已有的供水系統進行區域水量的分配及確定水泵的優化運行策略。具體就是在對調度日的城市用水量預測以后，利用建立的網絡分析模型進行優化計算，得到調度日內各時段、各泵站的水泵開關策略及各種變速泵的轉速。其目的就是在保證系統約束條件及給定的邊界條件下，使給定的目標函數最小或者最大。對優化調度模型的目標函數的確定，國內大多數的學者是以費用最小[13~14]或者城市供水量最大[15~16]為目標的，而Jay R. Lund至少提出了6種在調度模型中可選的目標函數。根據所選擇決策變量的不同還可將調度控制模型分為顯式模型和隱式模型[2~3]。顯式模型是直接以實際水泵的運行時間作為決策變量，而隱式模型則是首先采用中間變量，如泵站出口流量、水池變化軌跡等，并依此進行目標函數的尋優。

3  供配水系統優化調度數學模型及算法

    供配水優化調度是進行水量預測和管網分析的目的所在，也是本文重點。供配水系統優化調度首先是在城市用水量預測和管網分析的基礎上，建立調度模型的目標函數以及相應的系統的約束條件，其中用水量預測和管網分析模型體現在其約束條件中，在滿足約束的前提下，確定最優的目標函數。通過相應的約束條件，供配水系統的優化調度模型可以與水量預測模型和管網分析模型有機的集成在一起。

    優化調度模型的目標函數是根據供水企業自身的費用、水源條件、環境、效益及國家的法規等多方面來確定的，Jay R. Lund在其論文中提出了6種調度模型中可選的目標函數類型[81]。不同的供水企業其制定的目標函數可能是不同的，根據實際的情況，還有可能進行多目標優化調度模型。通過權重標量化或者將目標函數轉化為約束條件，可以將多目標優化模型轉化為單目標模型，此外Jeffrey還采用了小生境排列遺傳算法NPGA來解決多目標優化的問題[62]并成功應用在水力系統上。NPGA在選擇算子中集成了顯性排列（Pareto Domination）的概念并采用小生境技術，從而將群體分布在最優權衡排列面上。

    優化調度模型的約束條件可以是供配水系統的水量預測模型、管網水力分析模型、目標函數或者是人為規定的一些政策法規、行業標準。約束條件的合理程度直接關系到系統優化調度的成敗。

    總的來說，優化調度模型的建立和其采用的算法是密不可分的。由上可知，優化調度模型的目標函數和約束條件在不同的場合是不同的，模型求解算法卻是相對確定的，也就是說建立什么樣的模型，可以有相應的算法來求解?；谶@個原因，本文從優化調度的數學優化算法方面來闡述優化調度建模及實現方法，從中可得到有益的啟迪。

    供配水優化調度模型涉及到地上水、地下水、多水源多泵站的聯合調度問題，是一個復雜的非線性系統。優化調度模型在求解的步驟上可分為直接優化調度模型[13]和多級優化調度供水調度模型[76,78]，其中直接優化調度模型一般用來解決計算量比較小的管網系統，而對于變量比較多，計算量比較大的城市管網系統，則采用多級優化調度模型。

    下面從傳統的數學優化方法和現代優化算法兩方面來介紹應用在供配水優化調度中優化算法以及相應的模型。

3.1  應用在供配水系統中的傳統數學優化方法
    在這里，傳統的數學優化方法是指線性規劃（LP）、整數規劃（IP）、非線性規劃（NLP）、動態規劃（DP）以及最優控制理論（OCT）等優化方法。

    供配水優化調度模型是一個復雜的非線性系統。非線性的特征主要來源于泵站電耗、地下水水位的變化、管網水力方程、蒸發等因素。此外，基于決策的階段特性（以日、時為調度時間），自然而然，非線性規劃和動態規劃的方法廣泛的應用在供水優化調度的建模和模型的求解上。

    (1)  線性規劃（LP）、整數規劃（IP）及最優控制原理（OCT）
    LP方法主要是應用在模型的求解上，即將調度模型的非線性目標函數和約束條件轉化為線性的約束條件，從而可以將非線性問題轉化為線性問題來處理。常用線性化方法是Talor級數展開[57]、δ型逼近[25,75]、外部OA逼近[52]等。目前最新發展的LP是懲罰連續線性規劃PSLP，通過連續的使用LP來求解NLP問題；同時Barker和Lasdon還提出了一種簡化的PSLP方法[17]，與傳統連續線性規劃SLP相比，這種方法能夠更好的解決具有非線性約束條件的問題；Zhang 等人進一步改善了PSLP算法并論證了算法的收斂性[18]。在此基礎上Hirad Mousavi應用PSLP算法解決了多水源聯合供水系統的最優規劃問題[57]。

    IP在供配水系統優化調度中的應用主要是針對一類具有固定費用約束的優化模型，該模型采用混合整數非線性規劃（MINLP）[52]來描述供水系統優化調度問題。常用的解法是將MINLP轉化為NLP[19~22]或者MILP[23~24]來求解優化模型。

    OCT在供水系統調度模型中的應用并不多見，Mousavi已經證明其得到的解是一個次最優解[52]；然而由于該算法對搜索起點的不敏感性，還是有一些學者成功地將OCT應用到水庫的優化調度上[26~30]。

    (2)  動態規劃（DP）
    基于優化調度是以日、小時為階段來進行決策的，動態規劃的方法廣泛地應用在供水系統優化調度模型中[31~35]。其基本思想是在多階段決策的過程中，把當前階段和未來階段分開，同時又將當前效益和未來效益結合起來考慮的一種最優化方法。對中小型的供水優化調度問題應用DP能夠提出準確的最優解，但是隨著模型階數及變量數的增加，DP計算復雜性隨維數的增加呈指數的增長。DP固有的兩個問題限制了在供水優化調度中應用[58]：
    ?  維數災：隨模型維數的增加計算復雜性呈指數的增長；
    ?  模型災：很難確定系統的模型、狀態轉移概率。

    (3)  非線性規劃（NLP）
    基于梯度的NLP優化算法廣泛地應用在供水系統調度模型中。NLP能夠求解一類光滑的非線性目標函數和約束條件的函數。建立相應的目標函數和約束條件后，在能保證模型精度的情況下，應用NLP方法建模，具有求解質量好的特點。現在能夠求解上千個約束條件和變量的NLP軟件包已經成功地應用在供水系統優化模型中，如MINOS[36]、CONOPT2[37]等。但是NLP本質上是一個局部尋優算法而不是一個全局尋優的算法，在應用上存在以下的限制[61]：
    ?  NLP算法通常收斂到離搜索起點最近的局部最優點；
    ?  在原理上對非連續的問題并不能保證收斂性；
    ?  隨系統的規模和復雜度的增加，計算速度和解的可靠性將降低。

    總之，傳統的數學優化方法，從本質上都是一種局部、串行的計算方法。在簡單的供配水優化調度系統中可能會取得很好的效果，但是隨著系統復雜度的提高，模型的復雜度以及在求解速度、質量上都會受到一定的影響。由此限制了傳統優化方法在許多供水系統中的成功應用。

3.2  應用在供配水系統中的現代優化算法
    現代優化算法是80年代初興起的啟發式算法（Heuristic Algorithm）。這些算法包括禁忌算法（Tabu Search）、模擬退火（Simulated Annealing）、遺傳算法（Genetic Algorithm）以及人工神經網絡（Neural Network）。所謂的啟發式算法是指一個基于直觀或經驗構造的算法，在可接受的花費（指計算時間、占用空間等）下給出待解決優化問題每一個實例的一個可行解，該可行解與最優解偏離程度不一定事先可以預計[38]。在某些情況下，特別是實際問題中，傳統最優算法的計算時間使人無法忍受或因問題的難度使其計算時間隨問題的規模的增加以指數速度增加，尤其是傳統的最優算法本質上是一種串行、局部尋優算法?；趩l算法的并行性和全局尋優特性，為了解決上述傳統的數學規劃方法的局限性，這些算法在近幾年開始應用于供水系統的優化調度問題中。

    在供水優化調度中應用最多的是遺傳算法和模擬退火算法。也有將人工神經網絡成功地應用在供水優化調度模型中[58][73]，在該模型中M.Damas應用基于RBF網絡的時序預測方法確定了供水調度系統不確定的輸入變量。

    (1)  遺傳算法（GA）
    GA是模擬生物在自然環境中的遺傳和進化過程而形成的一種自適應全局優化的概率算法。它最早是由美國密執安大學的Holland教授提出的，起源于60年代對自然和人工自適應系統的研究。70年代De Jong基于遺傳算法的思想在計算機上進行了大量的純數值函數優化計算實驗。在一系列研究工作的基礎上，80年代由Gold Berg進行歸納總結，形成了遺傳算法的基本框架。

    GA已廣泛地應用到供水系統的水量分配[39~42]、泵調度[43~45,83~85]、水池水位[39~45]以及管網恢復系統[46~47]等方面。GA是一種并行的全局尋優算法，應用該算法主要解決的問題是染色體的編碼問題以及確定編碼值是否滿足模型的約束條件，即可行解。S.F.Beckwith 對此進行了討論[45]。

    由于GA算法本質上是一種仿生算法，由此對于一些復雜高階系統的求解特別有效。在優化調度目標函數已經確定的前提下，其關鍵是選擇適當的交叉算子（Crossover Operator）和變異算子（Mutation Operator）以及相應的編碼和解碼方法。其算法具有一定通用性。

    此外，隨著GA的發展，遺傳編程（GP）也取得了很快的發展，從而在實現上提供了對GA的支持。如麻省理工學院Matthew Wall開發的GAlib，Andy Hunter開發的SUGAL等開發工具。應用這些中間算法庫作為平臺，可以很方便地開發出特定環境的遺傳算法。

    但是GA算法本身也存在一些局限性，如早熟現象、最優解附近收斂速度變慢等。對此，國內外一些學者已在進行研究[48]。研究結果表明，結合一些傳統的優化方法，遺傳算法可以取得更好的效果。

    (2)  模擬退火算法（SA）
    SA是Metropolis在1953年提出的，該算法是局部搜索算法的擴展，它不同于局部搜索之處是以一定的概率選擇領域中費用值最大的狀態。從理論上來說是一種全局最優化算法。在供水優化調度中應用參見文獻[49~50,80]。

3.3  應用在供配水系統中的混合優化方法
    無論是傳統的數學優化方法還是現代優化算法，單獨應用在供配水優化調度問題上都有其自身的一些局限性。比如：傳統的優化方法大都是一些局部尋優的算法，在實際應用中需要多次選擇起點來進行測試，增加了算法的計算時間；而現代優化方法理論上是一種全局最優化算法，但是在最優點附近的收斂速度可能很慢等。國內外學者對這方面進行了許多的研究，提出了一些有效的供水系統優化調度模型及混合的優化算法。這類算法具有自適應性的特點，有效地克服了單一算法的局限性，提高了系統的計算效率及精度。

    1996年，Jean-Michel[51]提出了一種基于GA和爬山法的混合優化算法來進行全局的尋優，算法有效的結合了GA全局尋優特性及爬山法在最優點附近的收斂特性，在解的精確性、可靠性以及計算時間上取得了很好的折衷。2000年M.Damas[58]將此算法成功地應用到供水系統調度模型來確定一系列的可行解。

    1997年，David W. Watkins Jr.[52]對供水系統中一類帶固定費用問題的混合整數非線性規劃（MINLP）調度模型應用兩個分解算法GBD[53~54]和OA[55~56]對進行優化，得出了GBD適合大規模的調度模型的解算，而OA具有更快的收斂速度的結論。

    1999年，Hirad Mousavi等[57]提出了一種PSLP-OCT供水優化運行模型。該模型應用最優控制原理OCT和懲罰連續線性規劃PSLP的技術來對大規模復雜的供水系統進行優化。此外，為了實現費用最小以及盡可能滿足供水需求，在模型中還應用了Epsilon約束的方法。

    2000年，M.Damas等[58]提出了一種集混合遺傳算法[51]和NDP[59]神經動態規劃方法的供水網絡優化調度模型。該模型主要是針對解決分階段決策優化控制而提出的，其中每個階段的狀態變量和控制變量都是連續的。遺傳算法采用混合遺傳算法來確定每個決策階段可行的狀態變量；基于RBF神經網絡[60]和經典的正交轉換（SVD和QR）方法的時間序列預測來預測供水系統的階段需水量；為了避免動態規劃過程的災數問題，利用Monte Carlo仿真的方法來逼近模型的最優值函數，以及采用并行計算的機群技術都大大提高了模型的計算時間和改善了計算效果。最后基于該模型成功地解決了西班牙Granada市供水網絡優化調度的問題。

    2001年，Ximing Cai[61]等提出了一種應用GA＆LP來求解非線性水管理模型混合算法，其中GA用來確定模型的復雜變量，當其固定后，保持其余變量線性化，即可用LP的方法來求解，依此循環。在原理上GA算法可用其它的一些啟發算法來求解，如禁忌算法TS和模擬退火SA來代替。

    在供配水系統的優化調度模型中，還涉及到一類多目標優化的問題[87]，對于這類的問題可以從兩方面來解決：將一些目標函數轉換為模型的約束條件；或應用多目標決策的方法來實現，如NPGA[62]的方法等。較為典型的是1999年Kato提出了一種交互式多目標的分層混合供水網絡調度模型[63]。模型包括兩層：抽象匯總調度層（ASP）和進一步的連續細節調度層（CDP）。ASP層確定每日供水總調度量，CDP層在此基礎上進一步確定出一天中每小時水的調度量。在模型的求解中應用提出的混合多目標多階段規劃的方法HMMP，并與傳統的多層網絡模型的求解方法多階段整數規劃（MIP）[64]和完全的多目標規劃（CMOP）在計算時間、水庫的恢復率（RLR）以及流的平穩率（FSR）等方面成功地作了比較。測試結果表明，HMMP方法為已有的MIP和COMP提供了一種很好的中間規劃方法。該模型還成功地應用到日本的某些城市供水調度中，驗證了方法的可行性。文獻[14,65~66,70]分別用不同算法實現了供水系統優化調度多目標優化的問題。

4  小結

    綜上所述，供配水系統優化調度模型是與用水量預測模型以及管網分析模型有機集合在一起的。在優化調度建模中可以將水量預測模型和管網分析模型轉化為其約束條件，然后采用適當優化算法對模型進行求解。

    采用傳統的數學優化方法建立供配水系統優化調度模型，在系統比較簡單的情況下，可以以較快的收斂速度得到較精確結果，但是現在供配水系統優化調度的模型已不局限于傳統的單一泵站、水廠之間的供水調度，更多實現是多水源和多目標的聯合調度模型，隨著模型復雜性的提高，傳統的數學優化方法無論在求解的有效性和精確性上還是在計算時間和計算資源的要求上，已遠遠不能滿足要求。

    采用一些現代優化算法可以在一定的程度上解決這個問題。比如遺傳算法GA，單個個體的收斂速度雖然很慢，但是算法是基于整個群體，其并行性可以使收斂速度大大地提高，可獲得全局優化；此外，算法對模型的要求也比較低，所有這些都大大促進了遺傳算法在供配水系統中的廣泛的應用。但是其也存在著一些問題，比如：求解初期的收斂速度很快，但是在后期的收斂速度卻很慢，有時還必須采用適當的編碼和選擇算子以避免出現早熟現象。

    為此，采用傳統優化方法和現代優化算法相結合的方法建立和求解供配水系統優化調度模型有著廣闊的前景。其中，管網分析模型可轉化為模型的約束條件；采用并行的遺傳算法可以很快地收斂到最優點的附近，然后應用線性規劃等傳統方法可很快收斂到調度模型的最優點，從而可以使群體不但并行地遺傳進化，而且使群體中的個體有學習的過程，大大提高解的收斂速度和質量。

    筆者在這方面的研究成果將另有專題論述，為城市供水系統優化調度提供一個有效的解決方案。