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若由其半定量信息得知：，則對應的極值系統為：

在許多情況下，由此系統產生的數值邊界比Q₂產生的邊界要緊得多。
    然而，由于NSIM是用區間來表示系統的不確定性的，并且忽略了各變量之間的相互關系以及SQDE的相互關系，其結果便不可避免的仍具有奇異行為分支。

2.3  模糊定性仿真
    由于模糊數學可以更容易地描述物理系統的知識，比區間化的描述更接近于人的直覺，因此很自然會想到將模糊數學引入定性仿真。Qiang Shen和Roy Leitch就根據仿真器 的約束傳播原理，利用模糊數學的相關知識，建立了一種定性定量仿真算法：模糊定性仿真（Fuzzy Qualitative Simulation, FuSIM）[7]。這種方法為定性仿真提供了一種準定量描述，既集成了定量的知識，又解決了系統描述的不確定性問題。
    與QSIM算法類似，模糊定性仿真在假設系統變量是時間的連續函數的基礎上，先給出系統變量描述、模糊量空間、系統結構模型和系統初始狀態，然后產生系統變量的可能的后繼狀態，并利用過濾方法濾去不合理的狀態。由于其引入了系統的定量信息和Q₂中的定量信息傳播技術，相應地可以減少一部分系統的奇異行為分支，并提高仿真結果對系統的描述能力。此算法采用了Q₂中提出的系統變量在某個特定狀態的持續時間被應用來刪除系統的行為分支，即時序過濾技術，從而使得仿真結果中系統行為分支相對減少。這種仿真算法的基本原理包括：

    (1)  狀態描述。即將模糊量空間是所有系統變量定性取值的空間，用于定義變量在某一給定時間點或時間間隔上的定性值，由正凸模糊數的子集組成的集合Q_F表示。系統變量x在某一段時間∆T_P內的模糊定性狀態為 是一個二元組， ，其中A為模糊量值，B為模糊變化速率，∆T_P為變量x在此定性狀態的持續時間。持續時間由狀態的定性量值及其變化速率的范圍確定。
    (2)  狀態轉換。即是指系統參數變量x從一個狀態變化到另一個狀態 ， 。假設系統變量連續可微，故而x從到的轉換可以描述為一組規則，與其它定性仿真一樣，稱為可能的狀態轉換規則。
    (3)  過濾技術。模糊定性仿真算法是在系統定量是連續的條件下實施的，因此對于每一個給定的初始狀態，可能的狀態轉換規則確定一系列后繼狀態集合。對產生的后繼狀態要進一步限制，模糊定性仿真算法采用三種過濾技術：采用參數間的約束進行約束過濾；利用持續時間和到達時間進行時序過濾；應用系統模型的其他知識進行全局過濾。
模糊定性仿真合理的應用了系統的定量知識和時序過濾技術，這使得它比QSIM的仿真結果所含的系統奇異行為分支要少得多，但它仍未完全擺脫QSIM的影響。

2.4  SQSIM―半定量仿真器
    1998年，H. Kay結合仿真算法QSIM、NSIM和O₂，提出了一種新的仿真算法：SQSIM（Semi-Quantitative Simulation）[8]。SQSIM是一種對既包含參數不確定性又包含函數不確定性的常微分方程（ODE）進行表示和仿真的算法，其預測結果與系統模型的不確定性是嚴格相容的。
    基于QSIM對ODE的表示方法，SQSIM對系統的不確定性分別采用結構層（Structural Level）、定性層（Qualitative Level）和定量層（Quantitative Level）的多重表示的方法。并且采用數值區間去限制參數值不精確帶來的不確定性，用靜態包絡表示函數的不確定性。其推理過程依如下步驟進行：

(1)  定性推理。應用Kuipers的QSIM算法，得出系統的所有可能定性行為。
(2)  Q₂半定量推理。由于QSIM算法忽略了定量層的信息，它產生了與系統QDE相容的所有的系統行為，自然也包含了與SQSIM不相容的行為。將系統的定量信息應用于QSIM產生的定性行為樹之上，應用Q₂進行半定量推理，刪除一些行為分支，對預測結果起到精煉作用。
(3)  NSIM定量推理。Q₂建立了在定性與定量之間的橋梁。極大化和極小化SQDE中的每一個微分方程，NSIM根據QDE構建了一個極限系統。由這些極限方程構成了系統新的ODE系統，在這個系統中，其狀態變量是SQDE中狀態變量的上下界，應用這些精確的ODE系統來代替原來的不確定的系統。由于新的系統是一個ODE系統，對其可以采用常用的仿真方法進行仿真而得到系統的邊界。
(4)  SQSIM―結合不同層次的推理。結合QSIM、Q₂和NSIM來減少對不確定系統預測的不確定性。它以QSIM為仿真的基礎，在仿真的每一個時間點上，運行Q₂和NSIM產生時間和動態包絡，并運行每一種描述的動態包絡交集、事件交集、極值檢測、階數約減等策略，直到發現關于Q₂事件的確定點。
SQSIM是一種運行在狀態到狀態的基礎之上，并運用當前和以前的狀態去精煉系統行為的一種仿真算法。它的模型和預測結果有以下幾點性質：

?  預測的系統行為是由定性行為、事件和動態軌跡包絡構成的一棵狀態樹；
?  結果包含了SQDE（Semi-Quantitative Differential Equation）中的所有真實行為：
?  SQDE能夠像描述參數的不確定性一樣來描述函數的不確定性；
?  模型的不確定性應用參數的取值范圍和未知函數關系的靜態包絡來表示。

3  GQSIM―灰色定性仿真

    Huang和Chen在分析現行定性定量仿真理論的基礎上，結合灰色系統理論、概率論和定性仿真中處理不確定性問題的理論精髓，于2004年提出了一種以變量狀態持續時間為定性推理基礎的定性定量相集成的仿真算法：灰色定性仿真（Grey Qualitative Simulation，GQSIM）[9]。

3.1  灰色定性仿真
    在GQSIM中，首先定義了一個特殊的灰數：概率灰數，并提出了一種新的指數模型：優化H-C模型。
定義  概率灰數是實區間上的隨機變量，其分布函數為：，其中滿足
 
并稱1-α為概率灰數的測度，記作。

圖1  測度為1-α的概率灰數X[a,b]示意圖

    實數0作為一個特殊的概率灰數規定其測度為1。定義中的區間可根據需要采用開區間或半開半閉區間。
    全體概率灰數的集合記作G，在其上定義相關運算法則后，稱之為灰色量空間。
    定義  設為原始序列，其級比滿足條件，。稱
 
為X0的優化H-C模型。其中 ，d為方程
 
的解。
 
其中，。
    將優化H-C模型應用于半定量系統辨識，產生系統變量間關系的動態包絡，進而產生變量間的關系約束矩陣。

灰色定性仿真的基本原理包括：

(1)  灰色定性建模
    包括定性建模和半定量建模兩部分：定性建模是以定性微分方程QDE為基礎的。在灰色量空間上，物理系統中的變量通過QDE相互制約。在這些QDE中，除了灰色量空間中定義的相關運算外，還有導數運算和函數運算。與傳統的定性仿真不一樣的是QDE不僅可以對定性狀態進行約束檢驗，也可以直接產生變量的后繼狀態。這樣將大大地減小通過定性推理產生的系統狀態空間。
    半定量建模是應用優化H-C模型建立一個物理系統中變量之間的動態包絡來體現的變量之間的約束關系，產生變量間的關系約束矩陣。通過這些包絡，變量之間的約束不再被局限于QDE中的單調增加或單調減少的函數關系。

(2) 狀態描述
    一個物理系統中的變量X在某一個給定時間點或區間上的灰色定性狀態是一對有序概率灰數對，其中A是變量X的半定量值，B是其變化速率，它們的測度分別為1-α和1-β。變量 在此狀態持續時間為：

其中，表示A的長度；若灰數B的區間為[a,b]，則

(3) 指導規則
    如果概率灰數A的區間為[a,b]，B的區間為[c,d]，則對于變量X的當前狀態的變化有如下的指導規則：

①  相鄰性規則。如果變量X的后繼狀態為，那么A與C，B與D分別是相鄰的。
②  單調性規則。若c>0，則變量X的后繼狀態滿足；若d<0，則變量X的后繼狀態滿足。
③  守恒規則。若c=d=0，則狀態保持不變。
④  連續性規則。如果變量X的后繼狀態為 ，且 ，那么。
    在應用定性推理產生變量的后繼狀態時，遵循指導規則，可以減少不必要的系統行為分支，以節省仿真時間，提高仿真效率。

(4)  約束傳播
    在灰色定性仿真中，系統的定量信息的傳播分為關系方程約束傳播和關系矩陣約束傳播。與其它仿真算法中的約束傳播不同，灰色定性仿真中的約束傳播不僅可以用來產生系統變量的后繼狀態，也可用來消除不合理的當前狀態。

(5)  相容性檢驗和全局檢驗
    由于概率灰數仍具有不確定性，在指導規則下產生的變量的后繼狀態也存在模糊性。雖然經過約束傳播刪除了變量的部分奇異狀態，變量的奇異狀態大大減少，但仍需要對完全狀態進行相容性檢驗和全局檢驗。為了進一步減少系統的奇異行為，應用實際系統的原理性知識、啟發性知識和外部知識對系統的完全狀態進行相容性檢驗和全局檢驗，使仿真結果與實際情況更吻合。
灰色定性仿真流程如圖2所示。

圖2  灰色定性仿真流程圖

 


    灰色定性仿真是一種以系統變量的當前狀態持續時間為定性推理依據的仿真算法。在指導規則的約束下，每次只產生持續時間上界最小的變量的后繼狀態，然后進行約束傳播，與QSIM每次產生系統所有變量的所有可能后繼狀態再進行約束過濾相比較，GQSIM不僅節約了大量的仿真所需的空間和時間，而且有效地刪除了大量的系統行為分支，提高了仿真效率和準確性。

3.2  基于灰色定性仿真的故障診斷[12]

圖3  灰色定性觀測器

    為了準確迅速地進行在線故障診斷，有必要在離線狀態下建立系統的動態故障模型。根據系統的灰色定性約束和系統的實際構造，應用Reiter的故障診斷理論[10]可以建立系統的故障模型。在故障模型建立之后，利用定性觀測器對系統進行實時觀測。下面給出一種新的定性觀測器，如圖3所示。
    對系統的實際行為通過傳感器得到的實際狀態與GQSIM產生的預測狀態進行差異比較。考慮系統的某一變量X，設其在時間T內的實際狀態為(u, v)，其中。該變量在對應時間內的預測狀態為，其中。下面定義變量X的實際狀態與預測狀態的擬合度和故障判決函數：
定義  設和(u, v)分別為變量 的預測狀態和實際狀態，稱


分別是變量X的第一，第二擬合度；稱

為變量X的故障判決函數，其中是給定的閾值。
    若，則可以認為變量X的原因元件是正常的，反之認為相應元件出現了故障。對于經過判決函數得到的故障變量集合于故障模型集合進行匹配，進而得到相應的系統故障所在。
    如果得到的故障變量集合于故障模型不匹配，那么新的故障模型有必要被建立。為此，將此故障變量集合 返回灰色約束集，應用Reiter故障診斷理論推導新的故障模型，并將此模型加入原來的故障模型集合之中。
基于灰色定性仿真的故障診斷算法：

①  輸入系統實時初始狀態并實時監測系統實際狀態。
②  通過GQSIM預測系統行為狀態。
③  計算系統各變量的預測狀態與實際狀態的擬合度。
④  比較系統的預測狀態與實際狀態。如果，輸出“系統正常”；如果，轉到⑤。
⑤  將故障變量集合與故障模型集合進行匹配，如果存在，那么輸出“故障Fi”；如果不存在，轉⑥。
⑥  根據⑤中的故障變量集合，結合系統灰色約束機，推導新的故障模型并將其加入到原來的故障模型集之中，回到⑤。

4  結語

    隨著仿真技術的發展，模擬人類思維和推理過程是人工智能領域和系統仿真領域共同關注的熱門課題。定性仿真力求非數字化，通過定性模型推導系統的定性行為描述，具有人的智能行為特點，但定性仿真自其產生之日起，如何消除仿真的冗余行為分支和提高仿真準確性便成為研究的熱點。
    近年來的研究表明，引入定量知識來改進定性仿真，既可提高效率，又可優化結果。首先，定性仿真與定量知識的集成，提高了仿真的效率。由于定量知識的引入，定性仿真每一步由定性計算導致的模糊性大為減少，從而減少了許多不必要的仿真分支，節省了大量無謂的計算。其次，在定性建模中增加定量知識，可以構造不同層次的系統模型，形成智能系統，滿足系統的不同要求。另外，在定性建模和仿真中增加定量知識，可以更精確地定義系統及其行為，這在過程系統的診斷和預測中非常有用。