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案例頻道1. 前言
并聯機器人具有輸出精度高、結構剛性好、承載能力強、部件簡單及運動學反解簡單等許多串聯機器人所沒有的優點，近年來引起了機器人研究者的高度重視。其中，六自由度并聯機器人方面的研究已比較深入和成熟。三自由度并聯機器人是一種很有實用前景的機器人，其也越來越多地引起人們的注意。三自由度并聯機器人包括平面三自由度并聯機器人，球面三自由度并聯機器人和空間三自由度并聯機器人。球面三自由度并聯機器人能夠實現運動平臺三維轉動，是一種角臺形式，由靜角臺、動角臺和三組具有一定弧度的連桿架和連桿構成，各聯接處均采用轉動副。這種機構結構復雜、設計困難。
本文針對某水下運動模擬裝置提出一種具有三個轉動自由度的并聯機器人平臺，該機構與球面三自由度并聯機器人相比，具有部件少，結構簡單，運動學方程形式簡單，求解容易，計算量小，易于控制等優點。這種并聯機構不僅可用作特殊的運動模設備，還可以應用于機器人三自由度柔性腕關節、肩關節等機器人結構上，具有一定的應用前景。
2. 結構描述
圖1為所設計的三自由度并聯機器人機構。上、下平臺是兩個不同長度的等邊三角形q1q2q3和P1P2P3，其外接圓半徑分別為r和R。上下平臺形心點分別為C和O，形心點之間用固定桿長的支撐桿相聯。P1q1、P2q2、P3q3之間用三根可以伸縮的支撐桿相聯接。固定支撐桿與下平臺固接，與上平臺運動副為球鉸，三根可以伸縮的支撐桿與上平臺運動副為球鉸，與下平臺運動副為虎克鉸。固定坐標OXYZ置于下平臺三角形中央，原點位于O點，Z軸垂直向上，X軸通過P2點，方向如圖所示，Y軸平行于P1P3。OP1與X軸方向的夾角為q。固定于上平臺的動坐標系Cxyz原點位于形心C點，x軸沿Cq1方向，y軸平行于q2q3，z軸垂直于上平臺。各鉸接點的坐標為
圖1為所設計的三自由度并聯機器人機構。上、下平臺是兩個不同長度的等邊三角形q1q2q3和P1P2P3，其外接圓半徑分別為r和R。上下平臺形心點分別為C和O，形心點之間用固定桿長的支撐桿相聯。P1q1、P2q2、P3q3之間用三根可以伸縮的支撐桿相聯接。固定支撐桿與下平臺固接，與上平臺運動副為球鉸，三根可以伸縮的支撐桿與上平臺運動副為球鉸，與下平臺運動副為虎克鉸。固定坐標OXYZ置于下平臺三角形中央，原點位于O點，Z軸垂直向上，X軸通過P2點，方向如圖所示，Y軸平行于P1P3。OP1與X軸方向的夾角為q。固定于上平臺的動坐標系Cxyz原點位于形心C點，x軸沿Cq1方向，y軸平行于q2q3，z軸垂直于上平臺。各鉸接點的坐標為
Pi（Xi，Yi，0）T的絕對坐標
,
,
qi（xi，yi，0）T對Cxyz的坐標
,
,
圖1 三自由度并聯機器人結構
具有上述結構的并聯平臺由于中間固定支撐桿限制了三個移動自由度，從而使上平臺只能實現空間三維轉動。當機構的移動副作長度變化時，上平臺的位置參數隨之變化，實現三個自由度的轉動。根據機構自由度計算公式：
（1）
具有上述結構的并聯平臺由于中間固定支撐桿限制了三個移動自由度，從而使上平臺只能實現空間三維轉動。當機構的移動副作長度變化時，上平臺的位置參數隨之變化，實現三個自由度的轉動。根據機構自由度計算公式：
（1）式中n為構件數，g為關節數，f1為所有關節自由度總數，對于本并聯機器人n＝8，g＝10，f1＝21，故本機器人自由度F＝3。
3. 運動學分析
3.1 運動學位姿反解
所謂機器人運動學位姿反解指已知輸出件的位置和姿態，求解機構輸入件的位置稱為機構位姿的反解。所設計的并聯機器人機構的坐標如圖1所示，設（a，b，g）T為動坐標系繞X，Y，Z三軸的轉動角位移，C點在固定坐標系下的坐標為（0，0，zc）T，在上平臺運動過程中為定值。經過齊次變換，在動坐標系下的鉸接點qi在OXYZ坐標系中的坐標Q i（XTi，YTi，ZTi）T可表示為
其中i＝1，2，3，RT為坐標轉換矩陣
其中i＝1，2，3，RT為坐標轉換矩陣
（3）
式中c（?）表示cos（?），s（?）表示sin（?）。
則相應的桿長為
（4）
（4）這樣當已知上平臺的角位移，通過式（4）就可求得各桿的桿長。
3.2 運動學位姿正解
當給出三個驅動器的三個輸入Li，計算運動平臺末端件的位置和姿態，即為運動學的位姿正解。由式（4）
（5）
式中
式（5）為含有6個未知數的3個方程組成的線性方程組，若選其中的3個未知數lx，lz，mz作為基本變量，則其余的3個未知數可以表達成這3個變量的函數
（6）
式中，Fi，Di，Hi和Ii（i＝1，2，3）為常數，可以通過式（5）求得。此外，轉換矩陣RT中的元素存在下列關系
（7）
將式（6）代入式（7）中，可以得到只含有未知數lx，lz，mz的3個方程，進一步整理后寫成下面的形式
（8）
i＝1，2，3，fi,1，fi,2，fi,3是常數，fi,4，fi,5是lx的一次多項式，fi,6是l的二次多項式。且f1,2，f1,3，f1,5，f3,2為零。
當i＝1時，分別用1，lz，mz，lzmz，m2z乘以式（8）可得5個方程，當i＝2，3時，分別用1，lz，mz，lzmz乘以式（8）可得8個方程，這13個方程中含有13個未知數，可以寫成
BY＝0 （9）
式中，B為13×13的矩陣，并且其元素為lx的多項式，Y是13×1的未知數向量，
（10）
式（9）是一齊次線性方程組，其有解的條件是其系數行列式為零，即
det| B |=0 （11）
從式（11）可得到關于lx的8次多項式
（12）
由此得到lx有8個可能的解，由對稱性知，lz，mz也各有8個解。因此，所設計的3自由度并聯機器人機構對于一組給定的輸入桿長，上平臺最多有8個可能的位姿。
3.3 速度求解
根據所設計的并聯機器人機構的結構特點，通過推導雅克比矩陣J可以得出速度運動學公式。由于所設計的機構只有轉動，沒有平動。根據圖1所示，當已知上平臺的角速度 ，上平臺各鉸鏈點q1，q2和q3處的速度 （i＝1,2,3）可以表示為
（13）
北京市公安局海淀分局備案號：11010802023656號