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    兀旦暉（1981－）
男，陜西西安人，碩士，畢業(yè)于西安理工大學(xué)自動化與信息工程學(xué)院，主要研究領(lǐng)域為混沌在通信中的應(yīng)用，現(xiàn)于陜西科技大學(xué)電氣與電子工程學(xué)院從事教學(xué)科研工作。
基金項目：陜西省教育廳專項科研計劃項目資助(05JK159); 陜西科技大學(xué)校級自然科學(xué)基金(2X05-41)

1 概述

    混沌保密通信的研究在國際上起源于二十世紀(jì)九十年代初期，現(xiàn)已經(jīng)歷了十多年的時間，由于混沌信號自身所具有不可預(yù)測等特性，使得混沌保密通信具有極高的保密度，已成為目前信息科學(xué)界關(guān)注和研究的熱點之一。混沌同步的發(fā)現(xiàn)，使得理論應(yīng)用于通信領(lǐng)域成為可能，開始了混沌同步在保密通信中應(yīng)用的新階段。此后,國際上又相繼提出了一些新的同步方法，主要有:一般性同步、相同步和一致性同步，其中一致性同步又可分為驅(qū)動—響應(yīng)同步、誤差—反饋同步、雙向耦合同步、連續(xù)控制同步和自適應(yīng)同步等，混沌同步問題之所以得到廣泛的重視與研究，主要是它在混沌保密通信和擴(kuò)頻通信等領(lǐng)域顯示出較好的應(yīng)用前景，其中單向耦合同步在混沌通信中具有較大的應(yīng)用價值。混沌系統(tǒng)同步對于混沌保密通信系統(tǒng)的實現(xiàn)以及信息傳輸速率的高低都有這極其重要的影響，所以，研究混沌同步有著重要的意義。

    本文在改進(jìn)型Chua電路的基礎(chǔ)上，首先介紹了一種改進(jìn)型Chua電路及其特性；分析了蔡氏電路中混沌吸引子的鍵波及螺旋表示方法；設(shè)計了一個基于Chua電路鍵波同步系統(tǒng)，通過實驗給出了混沌系統(tǒng)同步與混沌吸引子鍵波之間的關(guān)系，為混沌同步系統(tǒng)在保密通信的實際應(yīng)用奠定了一定的基礎(chǔ)。

2 改進(jìn)型Chua電路及其特性

    1983年，蔡少棠教授首次提出了著名的蔡氏電路,它是迄今為止在非線性電路中產(chǎn)生復(fù)雜動力學(xué)行為的最有效而簡單的混沌振蕩電路之一，如圖1所示。

圖1   Chua 電路

    利用模擬電感電路對Chua電路進(jìn)行改進(jìn)，取代了Chua電路中的線性電感部分。構(gòu)造出改進(jìn)型Chua電路，取得了良好的效果，研究表明所有特性與原系統(tǒng)完全一致。

3  蔡氏電路中混沌吸引子的鍵波及螺旋表示

    考慮一個三階自治系統(tǒng)X=F_(x)，根據(jù)Shil’nikov定理，如果系統(tǒng)的平衡點X_Q有一對穩(wěn)定的復(fù)共軛特征值(<0,w!=0)和一個不穩(wěn)定的實特征值r(r>0)，且，矢量場F_(x)就會存在一條通過平衡點X_Q的同宿軌道，然后通過改變系統(tǒng)的一個或多個參數(shù)而得到F的一個擾動F^'，這樣F^'就會存在橫截同宿軌道和馬蹄。橫截同宿軌道的存在意味著存在無窮多的任意長周期的不穩(wěn)定周期軌道。進(jìn)一步意味著系統(tǒng)X=F_(x)存在非周期解，即混沌軌道。
蔡氏電路的狀態(tài)方程可表示為

    

    式中G=1/Rf(V₁)=G_bV₁ + 0.5(G_a-G_b)[|V₁+E|-|V₁-E|],為蔡氏二極管N_R的伏安特性函數(shù)，其中Ga=-0.76ms，G_b=-0.41ms，E=1V。

    根據(jù)非線性電阻N_R的分段線性的特性，蔡氏電路矢量場可分為三個區(qū)域，V₁<-E，|V₁|<E，V₁>E，分別稱為D-1，D0，和D1，如圖3所示。

　　
    當(dāng) |V₁|<E 時，對應(yīng)區(qū)域蔡氏電路狀態(tài)方程可表示為
   
　　式中，這個線性系統(tǒng)在原點處有一個單一的平衡

點，其穩(wěn)定性由的特征值決

定。其特征多項式為。設(shè)蔡氏電路各元件的參數(shù)為L=18mH C₂=100nF，C₁=10nF，G=1/R=550s,當(dāng)G=1/R=550s時，蔡氏電路已處于混沌狀態(tài)，可得的特征值為  

    從而使D₀相軌沿著區(qū)域中的不穩(wěn)定實特征值r₀相對應(yīng)的特征矢量E^r(0)的方位由，或者由，形成了蔡氏混沌吸引子的鍵波運動（及單向運動）。

    當(dāng) |V₁|>E 時，對應(yīng)D₀區(qū)域蔡氏電路狀態(tài)方程可表示為
     
    式中G^'=G+G_b,I^'=(G_b-G_a)E。當(dāng)V₁<-E時，對應(yīng)D₁區(qū)域，當(dāng)V₁>E時，對應(yīng)D₁區(qū)域，其平衡點分別為P^-和P⁺，附近的穩(wěn)定性可由
   
的特征值決定，其特征多項式為 
   
 ,設(shè)電路的參數(shù)已如前所述，可得的特征值為 

     

    可知在D₁和D_-1區(qū)域中，實特征值在平衡點相對應(yīng)的特征矢量分別為E^r(P₊)和E^r(P_-)，而復(fù)共軛特征值在平衡點相對應(yīng)的特征矢量所構(gòu)成的平面分別為E^c(P₊)和E^c(P_-)，。由于r₁<0，>0，故在D₁和D_-1區(qū)域分別形成了兩個相對穩(wěn)定的向外擴(kuò)展的螺旋運動。

    綜上所述，蔡氏電路可產(chǎn)生一個雙螺旋混沌吸引子，其相軌跡圖和相對應(yīng)的時域波形圖及鍵波圖分別如圖4，圖5，圖6所示。

    在D₁區(qū)域或D_-1區(qū)域中，可得：r₁≈-23284，=1022 ,w₁=19260。由此可得螺旋運動的基波分量的頻率為，則高次諧波分量為mf₁  （m=1,2,3……）

                       圖4  雙渦卷混沌吸引子相圖    圖5 雙渦卷混沌吸引子時域波形圖

圖6  混沌波形及其對應(yīng)的鍵波

    L=18mH,R=1.7,C₁=10nF,C₂=100nF。 為蔡氏二極管，它由雙運放TL082組成，和6個電阻構(gòu)成. 用雙電源供電，其伏安特性為分段線性函數(shù)，其中中間段的斜率為G_a=-0.72ms，其余兩段的斜率為G_b=-0.41ms，轉(zhuǎn) 折 點 電 壓 為E=1V。在圖7所示的實驗中，混沌同步的通道中串接了一個低通濾波器，其作用是濾除掉混沌信號的高頻分量，而允許低頻分量 （即鍵波分量）通過。實驗測得，R₀=0.5，C≤0.1F時，收發(fā)混沌仍能保持較好的同步，由此可得其上限截止頻率為 。

    實驗結(jié)果表明：

    （1）只傳送混沌同步信號的一分低頻信息（即鍵波分量），仍能使收發(fā)混沌保持良好同步。

    （2）混沌吸引子低頻分量的傳送對混沌信號步至關(guān)重要，它必須包含鍵波信號所產(chǎn)生的頻譜特征頻譜分量，才能保證收發(fā)混沌的同步。

    （3）只傳送鍵波產(chǎn)生的特征頻譜分量，濾除渦卷產(chǎn)生的高頻分量，混沌同步仍能保持，這不僅能滿足在實際信道中傳送同步信息的要求，還能提高混沌通信的保密性和信噪比。

    （4）當(dāng)驅(qū)動信號在傳輸過程中有衰減時，系統(tǒng)仍能很好同步。這個性質(zhì)對實際系統(tǒng)是十分重要的。

    （5）驅(qū)動響應(yīng)系統(tǒng)的所有元器件參數(shù)相同，則不論兩系統(tǒng)初始值如何，很快達(dá)到完全同步。當(dāng)兩系統(tǒng)的元器件參數(shù)有 5%以下誤差時，同步性能仍很好，因此驅(qū)動響應(yīng)式 Chua電路混沌同步具有一定的魯棒性。

    （6）鍵波產(chǎn)生的低頻分量稱之為特征頻譜，它對同步至關(guān)重要。鍵波對外界信號（實際中表現(xiàn)為干擾和噪聲）中的低頻分量的干擾有較高的敏感性，對混沌的同步有很大的影響，而外界信號中的高頻分量由于渦卷的高頻基波相對穩(wěn)定，對混沌的同步影響較小。

5  結(jié)束語

    本文介紹了一種改進(jìn)型Chua電路及其特性；分析了蔡氏電路中混沌吸引子的鍵波及螺旋表示方法；設(shè)計了一個基于Chua電路鍵波同步系統(tǒng)；通過實驗給出了混沌系統(tǒng)同步與混沌吸引子鍵波之間的關(guān)系，為混沌同步系統(tǒng)在保密通信的實際應(yīng)用奠定了一定的基礎(chǔ)。此外，采用何種方法進(jìn)行混沌鍵波的同步控制，如何在混沌同步鍵波控制信號有較大衰減情況下保證系統(tǒng)的同步？都是非常令人感興趣并值得今后繼續(xù)探討研究的課題。