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案例頻道1. 前言
并聯(lián)機器人具有輸出精度高、結(jié)構(gòu)剛性好、承載能力強、部件簡單及運動學(xué)反解簡單等許多串聯(lián)機器人所沒有的優(yōu)點，近年來引起了機器人研究者的高度重視。其中，六自由度并聯(lián)機器人方面的研究已比較深入和成熟。三自由度并聯(lián)機器人是一種很有實用前景的機器人，其也越來越多地引起人們的注意。三自由度并聯(lián)機器人包括平面三自由度并聯(lián)機器人，球面三自由度并聯(lián)機器人和空間三自由度并聯(lián)機器人。球面三自由度并聯(lián)機器人能夠?qū)崿F(xiàn)運動平臺三維轉(zhuǎn)動，是一種角臺形式，由靜角臺、動角臺和三組具有一定弧度的連桿架和連桿構(gòu)成，各聯(lián)接處均采用轉(zhuǎn)動副。這種機構(gòu)結(jié)構(gòu)復(fù)雜、設(shè)計困難。
本文針對某水下運動模擬裝置提出一種具有三個轉(zhuǎn)動自由度的并聯(lián)機器人平臺，該機構(gòu)與球面三自由度并聯(lián)機器人相比，具有部件少，結(jié)構(gòu)簡單，運動學(xué)方程形式簡單，求解容易，計算量小，易于控制等優(yōu)點。這種并聯(lián)機構(gòu)不僅可用作特殊的運動模設(shè)備，還可以應(yīng)用于機器人三自由度柔性腕關(guān)節(jié)、肩關(guān)節(jié)等機器人結(jié)構(gòu)上，具有一定的應(yīng)用前景。
2. 結(jié)構(gòu)描述
圖1為所設(shè)計的三自由度并聯(lián)機器人機構(gòu)。上、下平臺是兩個不同長度的等邊三角形q1q2q3和P1P2P3，其外接圓半徑分別為r和R。上下平臺形心點分別為C和O，形心點之間用固定桿長的支撐桿相聯(lián)。P1q1、P2q2、P3q3之間用三根可以伸縮的支撐桿相聯(lián)接。固定支撐桿與下平臺固接，與上平臺運動副為球鉸，三根可以伸縮的支撐桿與上平臺運動副為球鉸，與下平臺運動副為虎克鉸。固定坐標(biāo)OXYZ置于下平臺三角形中央，原點位于O點，Z軸垂直向上，X軸通過P2點，方向如圖所示，Y軸平行于P1P3。OP1與X軸方向的夾角為q。固定于上平臺的動坐標(biāo)系Cxyz原點位于形心C點，x軸沿Cq1方向，y軸平行于q2q3，z軸垂直于上平臺。各鉸接點的坐標(biāo)為
圖1為所設(shè)計的三自由度并聯(lián)機器人機構(gòu)。上、下平臺是兩個不同長度的等邊三角形q1q2q3和P1P2P3，其外接圓半徑分別為r和R。上下平臺形心點分別為C和O，形心點之間用固定桿長的支撐桿相聯(lián)。P1q1、P2q2、P3q3之間用三根可以伸縮的支撐桿相聯(lián)接。固定支撐桿與下平臺固接，與上平臺運動副為球鉸，三根可以伸縮的支撐桿與上平臺運動副為球鉸，與下平臺運動副為虎克鉸。固定坐標(biāo)OXYZ置于下平臺三角形中央，原點位于O點，Z軸垂直向上，X軸通過P2點，方向如圖所示，Y軸平行于P1P3。OP1與X軸方向的夾角為q。固定于上平臺的動坐標(biāo)系Cxyz原點位于形心C點，x軸沿Cq1方向，y軸平行于q2q3，z軸垂直于上平臺。各鉸接點的坐標(biāo)為
Pi（Xi，Yi，0）T的絕對坐標(biāo)
,
,
qi（xi，yi，0）T對Cxyz的坐標(biāo)
,
,
圖1 三自由度并聯(lián)機器人結(jié)構(gòu)
具有上述結(jié)構(gòu)的并聯(lián)平臺由于中間固定支撐桿限制了三個移動自由度，從而使上平臺只能實現(xiàn)空間三維轉(zhuǎn)動。當(dāng)機構(gòu)的移動副作長度變化時，上平臺的位置參數(shù)隨之變化，實現(xiàn)三個自由度的轉(zhuǎn)動。根據(jù)機構(gòu)自由度計算公式：
（1）
具有上述結(jié)構(gòu)的并聯(lián)平臺由于中間固定支撐桿限制了三個移動自由度，從而使上平臺只能實現(xiàn)空間三維轉(zhuǎn)動。當(dāng)機構(gòu)的移動副作長度變化時，上平臺的位置參數(shù)隨之變化，實現(xiàn)三個自由度的轉(zhuǎn)動。根據(jù)機構(gòu)自由度計算公式：
（1）式中n為構(gòu)件數(shù)，g為關(guān)節(jié)數(shù)，f1為所有關(guān)節(jié)自由度總數(shù)，對于本并聯(lián)機器人n＝8，g＝10，f1＝21，故本機器人自由度F＝3。
3. 運動學(xué)分析
3.1 運動學(xué)位姿反解
所謂機器人運動學(xué)位姿反解指已知輸出件的位置和姿態(tài)，求解機構(gòu)輸入件的位置稱為機構(gòu)位姿的反解。所設(shè)計的并聯(lián)機器人機構(gòu)的坐標(biāo)如圖1所示，設(shè)（a，b，g）T為動坐標(biāo)系繞X，Y，Z三軸的轉(zhuǎn)動角位移，C點在固定坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為（0，0，zc）T，在上平臺運動過程中為定值。經(jīng)過齊次變換，在動坐標(biāo)系下的鉸接點qi在OXYZ坐標(biāo)系中的坐標(biāo)Q i（XTi，YTi，ZTi）T可表示為
其中i＝1，2，3，RT為坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣
其中i＝1，2，3，RT為坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣
（3）
式中c（?）表示cos（?），s（?）表示sin（?）。
則相應(yīng)的桿長為
（4）
（4）這樣當(dāng)已知上平臺的角位移，通過式（4）就可求得各桿的桿長。
3.2 運動學(xué)位姿正解
當(dāng)給出三個驅(qū)動器的三個輸入Li，計算運動平臺末端件的位置和姿態(tài)，即為運動學(xué)的位姿正解。由式（4）
（5）
式中
式（5）為含有6個未知數(shù)的3個方程組成的線性方程組，若選其中的3個未知數(shù)lx，lz，mz作為基本變量，則其余的3個未知數(shù)可以表達成這3個變量的函數(shù)
（6）
式中，Fi，Di，Hi和Ii（i＝1，2，3）為常數(shù)，可以通過式（5）求得。此外，轉(zhuǎn)換矩陣RT中的元素存在下列關(guān)系
（7）
將式（6）代入式（7）中，可以得到只含有未知數(shù)lx，lz，mz的3個方程，進一步整理后寫成下面的形式
（8）
i＝1，2，3，fi,1，fi,2，fi,3是常數(shù)，fi,4，fi,5是lx的一次多項式，fi,6是l的二次多項式。且f1,2，f1,3，f1,5，f3,2為零。
當(dāng)i＝1時，分別用1，lz，mz，lzmz，m2z乘以式（8）可得5個方程，當(dāng)i＝2，3時，分別用1，lz，mz，lzmz乘以式（8）可得8個方程，這13個方程中含有13個未知數(shù)，可以寫成
BY＝0 （9）
式中，B為13×13的矩陣，并且其元素為lx的多項式，Y是13×1的未知數(shù)向量，
（10）
式（9）是一齊次線性方程組，其有解的條件是其系數(shù)行列式為零，即
det| B |=0 （11）
從式（11）可得到關(guān)于lx的8次多項式
（12）
由此得到lx有8個可能的解，由對稱性知，lz，mz也各有8個解。因此，所設(shè)計的3自由度并聯(lián)機器人機構(gòu)對于一組給定的輸入桿長，上平臺最多有8個可能的位姿。
3.3 速度求解
根據(jù)所設(shè)計的并聯(lián)機器人機構(gòu)的結(jié)構(gòu)特點，通過推導(dǎo)雅克比矩陣J可以得出速度運動學(xué)公式。由于所設(shè)計的機構(gòu)只有轉(zhuǎn)動，沒有平動。根據(jù)圖1所示，當(dāng)已知上平臺的角速度 ，上平臺各鉸鏈點q1，q2和q3處的速度 （i＝1,2,3）可以表示為
（13）
北京市公安局海淀分局備案號：11010802023656號