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引言

    圖象匹配是在計算機視覺和自動目標識別領域中廣泛應用的識別定位技術，主要是在給定初始目標信息的情況下，能在后續圖象中自動找到目標區域。目標位置通常用相對于視場左上角的偏移、旋轉角度和放大比例等幾個參數來描述。

    當前，圖象匹配主要方法有特征匹配方法、基于平移模型的相關匹配方法等。特征匹配方法一般應用于待匹配圖象目標有較明顯的幾何特征，例如亮度特征、區域特征、邊緣特征、點特征等請情況。首先按照相同的特征提取準則在輸入圖象和模板圖象中提取特征，再根據兩者特征的對應性得到一個超方程組，然后可以通過一些諸如最小二乘法、最小錯誤方程法等優化解法得到位置參數。定位將相對容易一些。但是，當目標處于復雜背景中，或者沒有明顯幾何特征時，這種方法的應用受到很大的限制。此外，當出現新的特征或者部分特征丟失等情況下，特征之間的對應性將難以確立。本文論述的基于區域的仿射模型定位方法能夠在復雜背景中獲得較高的匹配精度，可以作為互相關算法的改進型。

1 仿射變換定義及其性質

    仿射變換是射影幾何中的一種基本變換，其定義是：若變換 ， ， 是非奇異線性變換，  ,則變換 稱為仿射變換。
二維歐氏空間上的仿射變換為：
                            (1)
其中，
 ， ， 
式中的 都是實數。

    仿射變換具有平行線轉換成平行線和有限點映射到有限點的一般特性。平移，旋轉，縮放，及錯位等都是二維仿射變換的特例。

2 誤差評價方法

    傳統的誤差評價方式往往容易受到極個別大誤差點的影響，而不能夠有效考慮整體的情況。降低個別較大誤差點的影響，必須考慮在映射函數上對其進行抑制。考察函數誤差映射函數：                                (2)

    函數曲線表示為：
 
圖1   曲線

    實線表示 對應的曲線，虛線表示 對應的曲線， 值控制該函數對誤差的抑制范圍， 值越小對誤差值抑制的程度就越大。再采用 函數計算上面圖1的例子得到，(b)相對于(a)的 值為0.988，而(c)相對于(a)的 值為1.241，大于真正的目標圖象的誤差，這種評價方式是合理的。

3 迭代求解算法

    這種方法的突出優點是在目標真實位置附近能夠快速收斂，并且可以獲取非常高的定位精度。缺點是該方法是局部收斂的，必須要有目標的先驗位置知識。

    以模板圖象中心為坐標原點建立坐標系，那么模板圖象表示為 。模板圖象中的點 經仿射變換后，變為輸入圖象中的點 ，其中位置 和 之間存在仿射關系： 。 為 和仿射系數 的函數。 和 是相對于模板圖象中心的水平和垂直坐標， 和 表示仿射變換后的圖象在水平和垂直方向的變化量。

    若用 來表示模板圖象 經過仿射變換后在輸入圖象中的對應區域，則在灰度不變性前提下有公式成立：
                         (3)

    至此，模板目標圖象和輸入圖象之間的仿射關系就建立起來了。

    基于梯度下降的算法是一種局部收斂的算法，計算時需要一個參數的初始估計 。采用迭代遞歸方法來求解最優的仿射參數 ：

    設 ，參數 為仿射參數 的兩次估計值之間的差，稱為仿射增量：
                         (4)     參數 仍然采用迭代過程來計算。采用公式(3.11)所示的誤差評價函數：
  
                         (5)

    對誤差評價函數表達式中 的各分量分別求偏導可得：
   (6)

    令  ，得到含有未知變量 的方程，

    再采用高斯牛頓迭代法求解 ：
                          (7) 其中 ， 的調整增量 ， 
  

    (8)其中 部分計算較繁瑣，可以用 來代替。

    總結上面各計算分項，得到總的計算公式：
 
      (9) 

    參數 的迭代計算收斂之后，就得到了第 次仿射參數 。繼續計算 ， ，……，直到 ，得到參數 的最優值。

4 迭代求解算法分析

    本節的目的是在分析算法的基礎上，盡快提高算法的執行速度。下面首先來具體分析迭代求解參數 公式中的各個部分，以及詳細求解方法。 

    1）   表示第 次計算得到的目標圖象，是按照第 次仿射參數到輸入圖象中截取的目標區域。根據已知仿射參數，模板圖象中任意點在輸入圖象中對應點的坐標可以由下式求出：
       （10）

    假設模板圖象中水平相鄰兩個象素點 和 ，則經仿射變換之后在輸入圖象中有對應的兩點 和 。不難推導，有如下關系式成立：  。同理假設模板圖象中豎直相鄰兩個象素點 和 ，則經仿射變換之后在輸入圖象中有對應的兩點 和 ，有如下關系式成立：  。因此，可以得到結論：輸入圖象中經變換后的兩點坐標差只與模板中對應點的坐標差有關系，而與對應點所處位置無關。也就是說，只要計算一次仿射變換，得到目標左上角象素點的在輸入圖象中的位置，其它象素點的精確位置就可以采用增量法來求出。因此，除了第一個點以外，只需要計算兩個浮點加法就可以完成一個仿射變換點的精確位置。
僅僅獲得了精確的位置還是不夠的，還需要利用雙線性差值法來獲取相對精確的灰度值。
 
圖2  雙線性插值示例圖
 
  (11)
 ， ， ， 分別表示圖2中1，2，3，4點的灰度值。

    因此，對一個目標象素點，只需要計算3次乘法運算和6次加法運算就可以獲得基于雙線性插值的結果灰度值。試驗發現，算法對目標圖象灰度值的精度要求較小，只取整數部分就可以基本上滿足算法的需要。

    利用雙線性插值來求解精確圖象，是整個算法中最耗時間的部分。究竟是采取雙線性插值法還是采用相對簡單的最近鄰法來計算，需要根據具體情況來分析。根據實驗情況來看，當模板圖象較大時（3000個象素點以上），采用雙線性插值法來求解目標圖象有較大的時延。雙線性插值法在對比度較低、圖象紋理不豐富、目標變化幅度較劇烈的時候表現比較突出，比最近鄰法收斂要快得多，總的計算時間也要略少。但是采用大模板時，雙線性插值法耗費的時間將它所帶來的便利抵消掉了，整體上就比采用最近鄰法略慢。

    2）差分圖象 ，包括水平差分和豎直差分兩部分，即 ，為兩個列向量，分別表示水平和豎直方向差分圖象。利用下面水平和豎直算子來求解差分圖象：
  
(a)水平差分算子       (b)豎直差分算子
圖3 差分算子

    實驗發現這部分對于精度要求雖然要比上面求解目標圖象時要高一些，如果去掉小數部分也基本上沒有太大的影響。注意，差分圖象的求解是在輸入圖象中求得的，而不是對目標圖象施算子。也可以在目標圖象上求差分圖象，但是需要做個適當的變換。

    3） 函數的求解。

    可以采用查找表的方式來完成。如果目標圖象和模板圖象均采用了整數形式，那么可以得到兩個圖象的象素差的存在范圍： 。又因為 函數具有關于原點對稱的性質，所以只需要建立 的查找表就可以了。

    4） 求解。 ，表示仿射參數對 各分量的偏導數，反映了 各分量對整體的影響。當 分別取0到5不同的值時，可以求得 的結果向量。因此可以通過不同的 值而直接表現為一些確定的向量。如下所示：
 
    5） 項： 在算法實現時，可以考慮只使用一個固定的 經驗值，在以前的試驗中，采用了112.8，也就是65 ，效果較好。

    6）向量 為已知模板圖象。

5 迭代算法實驗分析：

    首先給出輸入圖象，如圖4(a)所示，再將輸入圖象中的矩形框標志的區域截取出來，作為模板圖象，如圖4(b)所示。
           
(a)輸入圖象                                  (b)選取模板圖象
圖4 輸入圖象及模板圖象

    以圖5中的虛線框為初始估計值，按照上面給出的迭代算法求解，收斂之后得到仿射變化參數，再將其以矩形框的形式顯示出來，得到下面結果：
          
(a)匹配結果圖象                        (b)定位區域的目標圖象
圖5 匹配結果圖象和定位結果目標圖象

    從匹配的結果來看，最終的匹配框相比初始估計發生了旋轉、位移和比例放大變化，與圖4(a)中的模板圖象截取框完全吻合。將框中的圖象截取出來，得到的目標圖象（如圖5(b)所示）與模板圖象完全一致，效果理想。從運算時間上來看，在迭代收斂區間內，對于30 30大小的模板，算法從開始狀態到收斂僅需要8毫秒的時間（PⅢ730處理器，256M內存，VC6.0編譯），驗證了該算法的可實時性能。

6 總結

    在本文中，首先對傳統的誤差評價方式進行了改進，減小了少數大誤差點對誤差評價造成的過大影響，更全面的考慮整個誤差的總體分布情況。隨后論述了仿射變換的定義和性質，然后給出了基于區域仿射模型的快速定位方法，迭代求解算法。對迭代求解方法，本文詳細討論了它的實現原理，細節，并對算法進行了詳細的分析，同時給出了算法流程圖，以及試驗部分。總體來說，具有較強的實際意義。

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