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    史繼光（1980－）
男，廈門大學碩士生，（廈門大學自動化系, 福建  廈門  361005）
，研究領域為網絡控制系統。

基金項目：福建省自然科學基金(A0510002)；廈門大學985二期信息創新平臺項目資助

摘要：NBFIs（Network-based Feedback Interconnections）是一類基于網絡反饋連接的系統，本文研究了此模型的數據包丟失的問題，將帶有有界任意丟包問題的NBFI系統建模成一般的線性切換系統，并應用切換lyapunov函數方法加以分析，進而給出了NBFI系統漸近穩定的充分條件，最后給出仿真，從而驗證了結論的正確性。

關鍵詞：基于網絡的反饋連接；網絡控制系統；數據丟包；穩定

Abstract: NBFI(Network-based Feedback Interconnection) is a new kind of network-based feedback interconnection. The problem of packet losses of NBFI is studied in this paper. We model the NBFI with bounded packet losses as a traditional switching system. By using the switching Lyapunov approach, some sufficient conditions of the asymptotical stability for NBFI are obtained. Finally, a simulation example is given to illustrate the effectiveness of the results.

Key words: Network-based Feedback Interconnections；Networked Control Systems；Packet losses；Stability

1 引言

    通過實時網絡形成的閉環反饋控制系統稱為網絡控制系統（Networked Control Systems ,NCSs）（如圖1）[1][2]。 它的主要特點是系統的各個器件（傳感器、控制器、執行器等）通過實時網絡來進行數據信息的交換。 網絡控制系統相對于傳統的控制系統，具有輕便，易操作、維修，有較高的靈活性、可靠性等優點。因此，網絡控制系統在航空航天、制造、交通等領域有廣泛的應用。然而，由于網絡的引入，也為控制系統帶來了新的問題：由于資源競爭和網絡擁塞引起的網絡延遲；由于網絡擁塞和數據破壞導致了數據包丟失；受網絡帶寬的限制，在網絡控制中還存在著單包傳輸和多包傳輸等問題。

    數據包丟失是網絡控制系統研究中的一個重要問題。目前，關于數據包丟失的問題，國內外很多學者進行了研究，也得出了很多的研究成果。 文[1][3][4]把帶有數據包丟失的NCS系統建模為具有事件率約束的異步動態系統，并研究了此異步動態系統的穩定性；文[2][5][6]引入了最大允許傳輸間隔（MATI）的概念，當兩次成功的傳輸（從傳感器到控制器，或控制器到執行器）的間隔小于最大允許間隔（MATI）時系統仍然穩定；文[7][8][9][10]用迭代的方法將帶有數據包丟失問題的網絡控制系統建模成切換系統，進而對這個切換系統進行研究。例如：文[8]利用共同lyapunov函數的方法，得到了系統穩定的充分條件；文[10]則進一步降低了保守性，用切換lyapunov函數的方法，得出系統的穩定條件。 有時，我們所研究的NCS系統帶有不確定參數[11][12][13]。 文[13]針對不確定NCS系統，設計出魯棒Hw反饋控制器解決網絡丟包問題。 有時，網絡延遲和網絡丟包是被同時考慮的[7][10][13]。文[10]用lyapunov函數的方法，推出系統帶有延遲和丟包時的穩定條件。

    但是，前面提到的文獻研究的對象都是一般的網絡控制系統，文[14]提出了一種新型的反饋連接的系統（如圖2），它將傳統的反饋連接通過網絡來實現。 因此也可將其看作是基于網絡的反饋連接（Network_based Feedback Interconnection,NBFI）。 同時它也可看作是NCS的擴展，NCS是通過網絡使被控對象和控制器相連接，形成一個閉環反饋環路，而NBFI系統是兩個被控對象通過網絡連接形成的閉環系統。因為網絡的存在，NBFI系統也存在時延和丟包的問題。 文[14]利用耗散性理論研究了NBFI系統的丟包問題，并提出了一種新的通信策略以解決兩個網絡同步傳輸的問題。

    本文將在文[14]的模型的基礎上，用迭代的方法把帶有有界任意丟包問題的NBFI系統建模成一般的線性切換系統，在此基礎上，我們將采用切換lyapunov函數方法，對該切換系統進行分析，進而得到系統NBFI（2.3）漸近穩定的充分條件，使得NBFI系統在滿足小于最大丟包上界的條件時，漸近穩定。

    本文的結構如下：第二部分，我們將描述NBFI系統的數學模型，并給出一些定義；第三部分，我們將分析系統的穩定性；第四部分，我們給出仿真結果；第五部分是結論。

    下面，我們先給出文中要用到的一些記號。

    NW：代表網絡

    Sam：代表采樣器

    Z：整數集

    Z+：非負整數集

    ‖●‖：歐氏范數

    In：n×n維的單位矩陣

圖1  一般的網絡控制系統



圖2  基于網絡的反饋連接的系統

2 系統分析與建模

    考慮如圖2所示的系統，它是由兩個離散的線性時不變系統通過網絡1和網絡2所組成的，基于網絡的輸出反饋連接的系統。

       （2.1a）

       （2.1b）

       （2.1c）

    其中，是時序，是系統狀態， ,   ,  分別是系統（2.1a）和系統（2.1b）的輸入和輸出。Ai，Bi，Ci是具有適當維數的常數矩陣。

    在僅考慮數據包丟失的情況下，我們作如下假設：

    （1）采樣器和執行器通過網絡相連接

    （2）采樣器是時鐘驅動，執行器是事件驅動

    （3）數據是單包傳輸

    （4）采樣周期是1

    （5）網絡1和網絡2同步

    注1：假設1~4是分析NCSs時，常用的假定[8][10][14]。假設5，雖然條件有點強，但可以簡化對NBFIs的分析和建模。

    下面，我們引入一些概念。

    定義序列   

    其中，ik指的是數據成功傳輸的時刻，是的一個子序列。

    定義1：數據丟包過程定義為

        （2.2）
    其中，。

    定義2：當在中的取值是任意的，則稱數據包的丟失是任意的。

    當系統（2.1a）的輸出信號從采樣器通過網絡傳到執行器端時，就變成；類似地，系統(2.1b)的輸出信號就變成。

    因此，圖2的數學模型由下式給出：

       （2.3a）

         （2.3b）

         （2.3c）

    系統初始輸入設為0，即：。

    本文的主要目標就是尋找適合的條件以保證系統NBFI(2.3)的穩定性，為此，我們引入系統NBFI(2.3)漸近穩定的定義。

    定義3：令為系統NBFI（2.3）的軌跡（x₀為初始狀態），若對任意的，存在一個, 當時，有 ,成立，則稱系統NBFI（2.3）是穩定的；進一步得，若對任意的有成立，則稱系統NBFI（2.3）是漸近穩定的。

3 主要結果

    本節，我們將帶有有界任意丟包問題的系統NBFI(2.3)建模成一般的線性切換系統，然后用切換lyapunov函數方法對該切換系統進行分析，進而得出系統NBFI（2.3）在有界任意丟包時，漸近穩定的充分條件。

    令

    通過迭代運算，與文[8]類似，我們得到

             (3.1)

    其中

    系統(3.1)初始狀態為

    因為最大丟包上界是s，所以

   

    其中

    這表明系統(3.1)實際上是一個由如下的s個子系統所組成的線性切換系統，其切換率由丟包過程決定。

      (3.2)

    定理1：如果存在實正定矩陣使得下面的矩陣不等式對所有成立

        (3.3)

    則系統NBFI（2.3）是漸近穩定的。

    證明： 首先，我們證明系統NBFI(2.3)的漸近性。

    構造如下依賴于數據丟包的Lyapunov函數。

   

    其中

    令

    我們有

    由Schur引理，可知

   

    因此，對任何

    有（3.7）

    由此可知

    現在我們考慮系統狀態

   

    其中

    對任意的，與(3.4）類似

    我們有

      (3.5)

    前面我們已推知
    因此

    所以

    這表明序列收斂于0。

    為了證明系統NBFI(2.3)的穩定性

    我們令 

   

   
    其中
    下面，我們將證明：對于任意的若則

    （1）當時 

    由于初始輸入為0

    我們有

    因此

    （2）當時

    由（3.4）和（3.5）知
    所以

    由lyapunov函數的定義，我們有

    所以

    因此，我們可以得出結論：對任意的存在一個，當時，成立。

    根據定義3可知系統NBFI(2.3)是漸近穩定的。

    注2：文[14]利用耗散理論得到系統（3.2）的各個子系統漸近穩定的條件，進而推出系統NBFI(2.3)漸近穩定的充分條件；而本文用切換lyapunov函數的方法，給出了系統NBFI(2.3)漸近穩定的條件。 結果以LMI的形式給出，易于檢驗。

4 仿真

    考慮具有如下參數的系統NBFI（2.3）

   

    其初始狀態為

   

    情形1：沒有發生數據包丟失的情況時，系統NBFI（2.3）的狀態響應如圖3所示。

圖3  沒有丟包時，NBFI（2.3）的狀態響應曲線

    令最大丟包上界s=5，即最多有80%的數據包丟失。 根據定理1，我們可求得如下的一組，滿足LMI（3.6）的可行解。

圖4  隨機產生的丟包過程

圖5  發生丟包時， NBFI（2.3）的狀態響應曲線

    注4： 從圖4中，我們可以看出發生了12次數據包丟失， 即有60%的數據包丟失了。 而由圖5可知，此時系統仍然是漸近穩定的。

5 結論

    本文研究了一類基于網絡反饋連接的系統（NBFI），并在此模型的基礎上，研究了有界任意丟包問題。 我們通過迭代的方法，將NBFI系統建模成線性切換系統，應用切換lyapunov函數方法對該切換系統進行分析，以LMI的形式給出了NBFI系統漸近穩定的充分條件。 最后的仿真結果，驗證了結論的正確性。 對于這種新的模型，本文僅考慮了數據丟包時的情況，對于時間延遲，多包傳輸等情況，并沒用考慮。 我們將在今后，對這一新模型進行深入的研究。

其它作者： 

    孫洪飛（1970-），男，廈門大學副教授，研究領域為復雜網絡，網絡控制系統及切換系統。

參考文獻

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