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    楊延爍（1979-）
男，福建福州人，碩士研究生，（廈門大學(xué)自動(dòng)化系，福建 廈門 361005）,主要研究方向?yàn)榍袚Q系統(tǒng)的極點(diǎn)配置和魯棒性。

基金項(xiàng)目：福建省青年科技人才創(chuàng)新項(xiàng)目基金(2005J006)，廈門大學(xué)985二期信息創(chuàng)新平臺(tái)項(xiàng)目。

摘要：研究了一類不確定線性切換系統(tǒng)基于狀態(tài)反饋的極點(diǎn)配置和LMI方法問題。此類切換系統(tǒng)不僅具有未知但有界的結(jié)構(gòu)不確定性，而且具有外部擾動(dòng)。利用公共Lyapunov函數(shù)，得到一穩(wěn)定切換控制策略來保證：(1)各線性子系統(tǒng)的特征值位于左半復(fù)平面的選定圓內(nèi)，(2)最小化閉環(huán)切換系統(tǒng)的擾動(dòng)衰減水平。在各子系統(tǒng)不穩(wěn)定的前提下，設(shè)計(jì)切換系統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制器，使得在任意切換策略下系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)配置在左半復(fù)平面，且具有良好的擾動(dòng)衰減水平，系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。得到了切換系統(tǒng)可狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定的充分條件；然后用易于求解的線性矩陣不等式形式表示出結(jié)果；最后通過仿真驗(yàn)證所設(shè)計(jì)的切換系統(tǒng)在狀態(tài)反饋控制器下漸近穩(wěn)定，且具有良好的極點(diǎn)配置和最小衰減水平。

關(guān)鍵詞：切換系統(tǒng)；極點(diǎn)配置；狀態(tài)反饋；LMI方法；衰減水平

Abstract: The problem of state feedback control of continuous-time switched linear systems with uncertain items is addressed in this paper. Uncertain switched systems’ pole assignment and disturbance attenuation level are studied. The switched systems not only have unknown, norm-bounded uncertainty in system’s structure, but also have exogenous disturbance. By using common Lyapunov function method, the state feedback robust controllers under arbitrary switching strategy are designed to assure each subsystem’s eigenvalue inside a chosen circle on the open left-half complex plane and the states of the systems asymptotically stable. Then the minimum disturbance attenuation level on Lyapunov function for switched systems is obtained. Both of the pole assignment and minimum disturbance attenuation level of switched systems are obtained.  All of these based on convex combinations technique and linear matrix inequalities method, the result is expressed in the form of linear matrix inequalities, which can be solved easily. Finally the simulation shows that the designed controller can make the states of the switched systems asymptotically stable under the arbitrary switching strategy with poles inside chosen circles and minimum disturbance attenuation level.

Key words:  switched systems; pole assignment; state feedback; LMI approach;   attenuation level

1    引言

    目前切換系統(tǒng)應(yīng)用在航空、通訊、機(jī)械生產(chǎn)等多方面，并引起了多方面的重視[1-3]。切換系統(tǒng)與單一系統(tǒng)比較，其系統(tǒng)的穩(wěn)定性與各子系統(tǒng)的穩(wěn)定性密切相關(guān)，又由于存在切換策略的影響，子系統(tǒng)穩(wěn)定并不一定使得總系統(tǒng)穩(wěn)定。值得一提的是切換控制策略對(duì)于提高系統(tǒng)的性能起了重要作用，保證了系統(tǒng)的魯棒性和實(shí)現(xiàn)了控制方案。近幾年研究的問題主要有：(1)找到在任意切換下實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)穩(wěn)定的條件，(2)找到實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)穩(wěn)定的切換策略，(3)找到實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)某些性能指標(biāo)的條件。

    利用固定增益得到的二次鎮(zhèn)定的主要缺點(diǎn)是結(jié)果可能過于保守，也就是，通過切換策略切換系統(tǒng)能夠?qū)崿F(xiàn)鎮(zhèn)定，但是不能保證存在一個(gè)對(duì)于所有子系統(tǒng)都成立的常值反饋鎮(zhèn)定陣。近來取得了不少基于二次Lyapunov函數(shù)的切換控制策略的研究成果，如文獻(xiàn)[4]通過一個(gè)狀態(tài)依賴切換策略來鎮(zhèn)定切換系統(tǒng)，文獻(xiàn)[5]用狀態(tài)和輸出反饋以及LMI方法來研究連續(xù)時(shí)間切換線性系統(tǒng)的二次鎮(zhèn)定問題。

    切換系統(tǒng)穩(wěn)定性和魯棒鎮(zhèn)定的研究取得了不少成果[6-9]。文獻(xiàn)[6]進(jìn)行了混雜切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析和鎮(zhèn)定問題的研究。文獻(xiàn)[7]考慮了一類離散線性切換系統(tǒng)的二次穩(wěn)定化狀態(tài)反饋控制律的設(shè)計(jì)問題，利用多李亞普諾夫函數(shù)法推導(dǎo)了在任意切換下二次穩(wěn)定控制律存在的充分條件，同時(shí)提供了二次穩(wěn)定控制律的一個(gè)參數(shù)化表示。文獻(xiàn)[8]利用Lyapunov函數(shù)方法研究了一類帶有外部擾動(dòng)的切換系統(tǒng)。解決了極點(diǎn)配置和擾動(dòng)衰減水平的問題。但是沒有考慮帶有不確定項(xiàng)的切換系統(tǒng)的相應(yīng)問題。

    本文研究了一類具有不確定項(xiàng)和擾動(dòng)的切換系統(tǒng)，不確定項(xiàng)是未知有界的，考慮了通過設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制器實(shí)現(xiàn)閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)配置在左半復(fù)平面給定圓心和半徑的圓域內(nèi)，同時(shí)滿足系統(tǒng)的穩(wěn)定要求，以及閉環(huán)系統(tǒng)的H∞衰減水平的上界。極點(diǎn)配置提高了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，H∞衰減水平的最小化確保在受到能量信號(hào)擾動(dòng)下切換系統(tǒng)的魯棒性。假定切換規(guī)則和狀態(tài)向量是未知但實(shí)時(shí)可測的?；诠捕卫顏喥罩Z夫函數(shù)，用LMI方法確定狀態(tài)反饋增益，來鎮(zhèn)定閉環(huán)系統(tǒng)，同時(shí)滿足極點(diǎn)配置和H∞性能要求。最后給出了數(shù)例，驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)方法的可行性和有效性。

2 問題描述

    考慮下面具有不確定性的線性切換系統(tǒng)

                                                                          (1)
    
                                                                          (2)

    其中。分別是系統(tǒng)的狀態(tài)、控制輸入和輸出向量。是外部擾動(dòng)。分別是第j個(gè)子系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣,△Aj是結(jié)構(gòu)不確定項(xiàng)。

    假設(shè)1：不確定項(xiàng)可分解如下形式

    且    (3)

    其中Dj與Ej為適當(dāng)維數(shù)的常數(shù)矩陣, Fj是適當(dāng)維數(shù)的未知矩陣。

    引理1：對(duì)任意具有適當(dāng)維數(shù)的矩陣X,Y及實(shí)數(shù)，都有
 
              (4)

3 主要結(jié)果

    先考慮無外部擾動(dòng)的系統(tǒng)（1）和（2），也就是，要找到一個(gè)狀態(tài)控制器，使得閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。下面的定理1給出了一個(gè)充分條件。

    定理1. 如果存在一個(gè)正定矩陣和矩陣及實(shí)數(shù)，使得

    成立。

    狀態(tài)反饋控制器為

    ， (6)

    其中                                   

    則閉環(huán)系統(tǒng)在任意切換策略下穩(wěn)定。

    證明：由(5)得

    

    閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定可由存在公共Lyapunov函數(shù)實(shí)現(xiàn)，即

      令 

    則

   

    由引理1得

   

    則

   

    證畢。

    定理1給出了使閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分條件，但要使閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)配置在以為圓心，r_j為半徑的圓內(nèi)，表示為，即

                   (7)

    的極點(diǎn)配置在內(nèi)，如圖1所示。那么下面的定理2給出了充分條件。
在以下的證明中為了簡潔，設(shè)

           (8)

       (9)

    定理2 如果存在對(duì)稱正定陣和矩陣及實(shí)數(shù)，使得

         (10)

    則閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)可配置在內(nèi)，且系統(tǒng)穩(wěn)定。

    證明：由(10) 可得

   

    定義矩陣

   

    那么 

   

    等價(jià)于

   

    由引理1得

   

    展開得

   

    即

   

    該式滿足

    從而由文獻(xiàn)[9]的結(jié)果知，上述條件實(shí)現(xiàn)了極點(diǎn)配置。

    且

        (11)

    該式保證系統(tǒng)穩(wěn)定。 證畢。

    從定理2可得到以下結(jié)論：如果圓心和半徑選擇適當(dāng)，子系統(tǒng)將以理想的速度漸近衰減。通過適當(dāng)?shù)剡x擇，每個(gè)子系統(tǒng)的閉環(huán)響應(yīng)能獨(dú)立設(shè)計(jì)。能用來限制每一子系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)范圍。例如，基于數(shù)值，系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)的調(diào)整時(shí)間為。可以確定瞬態(tài)響應(yīng)振動(dòng)頻率的上界。

    接下來考慮帶有擾動(dòng)的系統(tǒng)(1)-(2)，以下定理3將給出最小化系統(tǒng)衰減水平的方法，通過給每個(gè)子系統(tǒng)一個(gè)增益陣，保證閉環(huán)系統(tǒng)在任意切換下穩(wěn)定且得到系統(tǒng)最小衰減水平。

    定理3 如果存在一個(gè)公共正定矩陣和矩陣及實(shí)數(shù)，使得

          (12)

    則閉環(huán)系統(tǒng)滿足衰減水平，即對(duì)于任一輸入確定一個(gè)邊界，使得滿足。

    證明：由(11)可得

   

    由上式可得

             (13)

    該式保證了系統(tǒng)的H∞最小衰減水平。

    證畢。

    通過定義,且在滿足(12)式的前提下最小化，可以求得最小的H∞保成本。(12)式的可行解給每個(gè)子系統(tǒng)一個(gè)增益Kj和公共Lyapunov矩陣W，確保切換系統(tǒng)在任意切換下實(shí)現(xiàn)H∞保成本。實(shí)際上，對(duì)每個(gè)子系統(tǒng)可以設(shè)定一個(gè)，公共Lyapunov矩陣確保系統(tǒng)全局穩(wěn)定，而則是最差情況下H∞保成本。

    通過定理1-3，我們既能確定切換控制律來實(shí)現(xiàn)每一子系統(tǒng)的極點(diǎn)配置，也能確定一個(gè)擾動(dòng)衰減水平來提高切換系統(tǒng)的魯棒性。以下的定理4則給出了同時(shí)滿足狀態(tài)反饋下實(shí)現(xiàn)閉環(huán)極點(diǎn)配置和最小化衰減水平的充分條件。

    定理4如果存在一個(gè)公共正定矩陣和矩陣及實(shí)數(shù)，使得

   

    成立，則帶狀態(tài)反饋的閉環(huán)系統(tǒng)既滿足衰減水平,極點(diǎn)配置在內(nèi)，且閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。             

    證明：

    由Schur定理及(14)式可得

   

    該式保證了(11)式和(13)式成立，就實(shí)現(xiàn)了極點(diǎn)配置和最小化衰減水平。

    4 例子

    例1考慮以下切換系統(tǒng)，有兩個(gè)子系統(tǒng)，矩陣分別為

   

    該切換系統(tǒng)在初始狀態(tài)和切換規(guī)則每0.5秒切換一次下是不穩(wěn)定的，如下圖2所示。

圖2   切換系統(tǒng)狀態(tài)變量軌跡

    通過使用定理1-4于該切換系統(tǒng)，能得到漸近穩(wěn)定的結(jié)果。如用定理2，可得到各子系統(tǒng)極點(diǎn)配置在內(nèi)且全局穩(wěn)定的結(jié)果。

    圖3給出了在初始條件和切換規(guī)則下經(jīng)過狀態(tài)反饋和極點(diǎn)配置的狀態(tài)響應(yīng)曲線。實(shí)線代表使用定理2后閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)變量的軌跡，虛線是只確保狀態(tài)穩(wěn)定的狀態(tài)軌跡。比較可看出，有極點(diǎn)配置的曲線更光滑且更快的瞬時(shí)響應(yīng)。

    應(yīng)用定理3可得出一個(gè)控制器來提高擾動(dòng)衰減水平，應(yīng)用定理4既得到良好的極點(diǎn)配置，又使系統(tǒng)具有最小的衰減水平，且系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，如圖4所示。
應(yīng)用定理4得到的增益矩陣為

   

    Lyapunov 矩陣

圖4   狀態(tài)反饋響應(yīng)曲線

4 結(jié)論

    文章中的狀態(tài)反饋控制律保證了切換閉環(huán)系統(tǒng)的每個(gè)子系統(tǒng)的極點(diǎn)配置在左開半復(fù)平面的指定圓內(nèi)，也保證了閉環(huán)切換系統(tǒng)在給定衰減水平下的全局穩(wěn)定。數(shù)例說明切換控制策略可解決更嚴(yán)格的設(shè)計(jì)要求，基于公共二次李亞普諾夫函數(shù)的方法提高了該類系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。LMI公式化條件可進(jìn)一步用于解決離散或輸出反饋問題。

其它作者：

    張霄力(1970-)，男，河北唐縣人，副教授，博士，主要研究方向?yàn)榛旌舷到y(tǒng)、切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性等。

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