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李理（1980－）
男，（廈門大學自動化系，福建 廈門 361005），廈門大學自動化系碩士研究生，研究方向為網絡控制系統。
摘要：基于網絡的反饋連接系統（NBFIs）是一種新型的基于網絡連接的系統模型。本文主要研究帶有擾動輸入的網絡丟包問題，即系統在滿足一定數據丟包率和一定H 性能指標的條件下具有的狀態反饋控制問題。首先把網絡看作一個開關，將帶有丟包的NBFI系統建模為帶有結構事件率約束的異步動態系統（ADSs）；其次運用平均駐留時間方法與H 控制理論，推導出由ADS系統進一步建模成的切換系統指數穩定同時滿足一定H 性能指標的充分條件；最后以數值例子仿真驗證結論的有效性。
關鍵詞：網絡控制系統；基于網絡的反饋連接；平均駐留時間；異步動態系統；H 性能
Abstract: NBFI is a new kind of network-based model. For the network-induced packet dropout, an average dwell time method is used to analyze the Network-based H Control of NBFIs. First of all, the NBFI with data packet dropout is modeled as an asynchronous dynamical system with rate constraints on events. Then, by using the average dwell time method and applying H control theories, a sufficient condition of the NBFI stability with H performance bound is obtained. Finally, a simulation example is given to illustrate the effectiveness of the proposed approach.
Key words: networked control system；network-based feedback interconnection；average dwell time；asynchronous dynamical system；H performance
1 引言
隨著網絡在社會各個領域的廣泛應用，許多專家學者也開始關注和研究基于網絡連接的系統，而通過實時網絡連接形成的閉環反饋控制系統稱為網絡控制系統（如圖1）（networked control systems，NCSs）[1][2]。它的主要特點是系統的各個器件(傳感器、控制器、執行器等)是通過實時網絡來進行數據信息交換的。網絡控制系統相對于傳統的點對點控制類系統，具有輕便，易操作、維修，有較高的靈活性、可靠性等優點。因此網絡控制系統在航空航天，制造業等領域有廣泛的應用。然而，因為網絡的存在也為控制系統帶來相應的問題：信息的傳輸延遲[1][3] ；受網絡帶寬和數據包容量的限制，須采用多通道傳輸等[1][4] ；由于網絡傳輸的不可靠性，網絡控制系統發生數據包丟失現象。
在網絡控制系統中，當節點出現故障或發生信息傳送碰撞時，就可能出現丟失網絡數據包的現象。雖然大多數網絡具有重新傳輸機制，但它們也只能在一個有限的時間內傳輸，當超過這個時間后，數據也會隨之丟失。文[1][5][6][7]把數據包丟失的NCS系統建模為具有事件率約束的異步動態系統(ADSs)，并研究了此異步動態系統的穩定性問題。文[8][9][10]介紹了最大允許傳輸間隔（MATI）這個概念，它是指如果網絡發生丟包，則兩次成功傳輸的時間間隔不大于MATI。文[11][12][13][14][15]把帶有丟包的NCS系統建模為一個切換系統，在此基礎上分析了系統的穩定性。如，文[14]針對網絡丟包現象，設計出新的控制器并運用切換系統的平均駐留時間方法研究系統的穩定性；文[15]針對網絡丟包現象提出一個特殊的不確定切換系統模型，并研究了該模型的魯棒反饋控制問題。有時，所研究的NCS 系統帶有不確定參數[12][15][17]。如，文[17]針對不確定NCS系統，設計出魯棒反饋控制器H 解決網絡丟包問題。有時，網絡延遲和網絡丟包是被同時考慮的[7][11][12][16][17]。如，文[7][16]利用Lyapunov方法推導出帶有延遲和丟包現象的NCS系統穩定的充分條件。
文[19]提出了一種新型的反饋連接系統（如圖2），它是將傳統的反饋連接通過網絡來實現，因此也可將其看作是基于網絡的反饋連接（Network-Based Feedback Interconnection，NBFI）。同時它也可看作是NCS系統的擴展模式，NCS系統是通過網絡使被控對象和控制器相連接，形成一個閉環反饋系統。而NBFI系統是兩個被控對象通過網絡連接形成的閉環反饋系統。因為網絡的存在，NBFI系統也會出現延遲或丟包等現象。文[19]利用耗散性理論研究了NBFI系統的丟包問題，但是它僅僅針對每個被控對象都是離散系統的情況，而每個被控對象為連續系統的情形沒有考慮。
受文[19]的啟發，本文研究了由連續對象通過網絡串聯而成的NBFI系統。應用網絡發生丟包時數據傳輸為零這一特性，把系統建模為一個帶有事件率約束的異步動態系統。分析開關斷開或閉合時系統運行的各個狀態，把這個異步動態系統進一步建模為帶有四個子系統的切換系統。以此為基礎，研究了該種類模型滿足H 性能指標的反饋控制問題，通過引入一個新的切換策略，即運用切換系統的平均駐留時間方法，使得系統在滿足小于一定的丟包率的條件下，對于每一個具有平均駐留時間的系統狀態都能夠保證系統全局漸近穩定，同時又可使系統滿足一定的H 性能指標的要求。
在文章的第二部分將會描述NBFI系統，并給出網絡正常傳輸和非正常傳輸時系統的數學模型。第三部分將分析系統的穩定性同時使系統滿足一定H 性能指標的要求。第四部分給出一個數值算例驗證本文方法的有效性。
圖1 典型網絡控制系統
圖2 基于網絡的反饋連接系統
圖3 帶有丟包的NBFI系統
2 系統分析與建模
把圖2所示的帶有擾動輸入的NBFI系統。
假設系統滿足如下條件：
假設1 網絡傳輸正常情況下，系統近似看作為帶有擾動的無時滯連續線性系統。
假設2 網絡采用單包傳輸模式，左右網絡發生數據包發丟失情況不確定。
假設3 丟包總的發生時刻在整個系統時間定義域內小于或等于一定比率。
假設4 系統中僅有一個被控對象受外界擾動信號干擾。
則系統可建模為一個連續的常規反饋連接系統：
（1）
其中狀態
為被控對象1的輸入，
為被控對象1的擾動輸入，
為被控對象1的輸出，
為被控對象1的受控輸出，
為被控對象2的輸入，
為被控對象2的輸出，A1，A2′，B1，B2，B1′，C1，C2，D是具有適當維數的常數矩陣。
當網絡發生數據包丟失時，網絡可以視為按一定速率開合的開關[1][5][6]。帶有數據包丟失的NBFI系統描述如圖3所示 ：右網絡視為開關S1，左網絡視為開關S2，當左右開關同時閉合時（S1 S2），網絡正常傳輸即系統不發生丟包現象；當左右開關同時打開（
）或只有一個開關打開而另一個開關閉合（S1，S2）時，網絡非正常傳輸即系統發生丟包現象。下面列寫系統在這四種情況下運行的狀態方程：
情況一
（S1 S2）：
令
，則
。 （2）
情況二
（）：
。 （3）
情況三
（
S2）：
。 （4）
情況四
（S1
）：
。 （5）
可以把系統在這四種情況下的運行視作系統在四個子系統間的切換，則
, （6）
其中狀態
為切換信號，它是一個依賴于時間t或狀態x的分段右連續常值函數，
是具有適當維數的常數矩陣。
定義1[7] 對應于異步動態系統四種狀態
事件出現的比率，稱為結構事件率。
用
分別表示每一狀態的結構事件率，
。顯然r滿足
。
因此當網絡中數據包丟失率一定時，由異步動態系統進一步建模成的切換系統同樣受到結構事件率ri的約束。
3 主要結果
對
，引入符號
,分別表示在時間內網絡正常傳輸與非正常傳輸（網絡丟包）的時間長度。
定義2 [15] 對， 如果存在0<P<1，
使得下面不等式
, （7）
成立，則稱p為系統在時間
上的最大丟包率。
因為
，所以從上面的定義中，我們可以得到
, （8）
這里
。
定義3 [18] 對切換信號
，用
表示在時間段上切換的次數。如果存在數
使得對任何的
都有
（9）
成立，那么稱正數
為平均駐留時間。
注１：平均駐留時間的提出是為了限定切換系統中任意兩次切換的時間間隔，因此滿足平均駐留時間就是指系統在一段時間內的任意兩次切換的時間間隔不小于一個時間值，以避免因切換過快而導致的系統不穩定。
定理1 若存在正定對稱矩陣
和正數
，使得下列矩陣不等式
, （10）
, （11）
（12）
成立。如果最大丟包率滿足
（13）
并且在滿足平均駐留時間
（14）
的切換律下,系統是指數穩定的，且是具有H∞性能指標
。這里
證明：
1） 當外部擾動
時，系統（6）的漸近穩定性。
定義分段Lyapunov函數
（15）
其中Pi為滿足式（10）、式（11）、和式（12）的正定對稱矩陣。
則由式（12）得
。 （16）
對于式（15），存在兩個正數a和使得b
（17）
其中
。
當切換到第i個子系統時，
沿著相應的子系統對時間t的導數為
（18）
由式（10）、（11）、（18），得
（19）
（20）
定義為
系統對切換信號
在t時刻狀態下滿足式（19）、式（20）的
或
值。則對
，令
表示系統在時間段(0,t)上的切換點，由式（16）、式（17）和式（20）可得
（21）
如果滿足條件（14），即對，
成立，則
（22）
把式（7）、（8）、（22）代入式（21），可得
（23）
由式（13）、（23），根據歐式范數的定義有
所以系統（6）在滿足平均駐留時間（14）的切換律下是指數穩定的，且指數衰減率。
注２：當
時,Pi=Pj，
，則系統在滿足
條件時，系統在任意切換下是全局漸近穩定。
2） 系統滿足H∞性能指標
的穩定性。
網絡持續丟包和正常傳輸是交替進行的，則對，令
表示系統在時間(0,t)段上的切換點，那么r1事件與事件
發生的時間區間集合分別為：
持續丟包事件發生的時間區間集合：
，
正常傳輸事件r1發生的時間區間集合：
。
由矩陣不等式（10），（11）可得
（24）
（25）
由式（15），式（23），式（24），則對
，有
（26）
由式（15），式（23），式（25），則對
，有
（27）
由
，則有
（28）
（29）
把式（28），式（29）合并，可得在
R＋有
（30）
將式（30）中t從0→∞進行積分，可得
（31）
即
所以系統具有H∞性能界
，定理得證。
4 仿真
對于NBFI系統，設參數矩陣為：
取系統的初始點
。如圖4、5、6，NBFI系統運行在網絡發生丟包時是不穩定的：
圖4 NBFI系統左右網絡同時發生丟包現象的狀態響應圖
圖5 NBFI系統右網絡發生丟包現象的狀態響應圖
圖6 NBFI系統左網絡發生丟包現象的狀態響應圖
設
，應用MATLAB求解LMI式（24）、（25）、（26），得到正定對稱矩陣：
令
，由
，對切換系統（5），取駐留時間
，則由條件（13）得出系統的最大丟包率
。
對切換系統(6)進行隨機切換，應用MATLAB中的rand函數隨機產生一組由１,２,３,４生成的隨機數列，其中１,２,３,４分別代表系統的四個子系統。在滿足平均駐留時間和最大丟包率的情況下，應用隨機產生的這組數列設計切換律（如圖７）。
圖７ 系統(6)的切換律曲線圖
運行后，則可得切換系統(6)的狀態響應圖（如圖８）。
圖８ 切換系統(6)的狀態響應圖
從圖８可看出切換系統（6）在滿足一定的駐留時間和丟包率的情況下能夠收斂。且此時若
，相應的H∞性能指標
，若
，相應的H∞性能指標下降到
。
5 結論
本文研究了基于網絡傳輸的新型反饋連接系統。因為系統的反饋連接是通過網絡來實現的，所以系統運行時依然會出現延遲或丟包現象。為此對連續的帶有丟包情況的NBFI系統進行異步動態系統建模，得到系統運行的四種狀態，由此把帶有丟包的NBFI系統視為在四種狀態間切換的切換系統，然后運用平均駐留時間方法和H∞控制理論，使得每次切換后在該子系統的駐留時間不小于一個定值時，保證系統在一定的丟包范圍內是漸近穩定的，且滿足一定H∞性能界要求。本文僅就連續線性系統的丟包問題進行了研究，并沒有考慮網絡發生延遲或多包傳輸等情況，而且將來也需要對非線性的NBFI系統所發生的各種問題進行細致的研究。
其他作者：
孫洪飛，男，廈門大學信息科學與技術學院副教授，研究方向為切換系統與網絡控制系統。
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編號：080532
北京市公安局海淀分局備案號：11010802023656號