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高天國(guó) （1963-）

男，畢業(yè)于哈爾濱工業(yè)大學(xué)精密儀器系，主要從事新產(chǎn)品開發(fā)與設(shè)計(jì)工作。


摘要：本文介紹了一種新型串并聯(lián)機(jī)床LINKS-EXE700的結(jié)構(gòu)(Tripod機(jī)構(gòu))，該型機(jī)床具有更大的工作空間，更好的剛度性能。并對(duì)Tripod機(jī)構(gòu)自由度進(jìn)行了理論分析，給出了工作空間的求解流程圖，通過實(shí)例表明該型機(jī)床的工作空間較大，具有很好的應(yīng)用前景。

關(guān)鍵詞：串并聯(lián)機(jī)床；自由度；工作空間

Abstract: This paper introduces the tripod system of the LINKSEXE 700 SerialParallel 
Kinematic Machine with more workspace and higher rigidity construction, and gives a 
theoretical analysis on the degree of freedom (DOF) of the tripod system and a solution
 flow chart for the workspace. The operating example shows that the SerialParallel 
Kinematic Machine has a large workspace and bright future in commercial applications.

Key words: serial－parallel machine tool; degree of freedom; workspace

1 引言

    串并聯(lián)機(jī)床屬于新型虛擬軸機(jī)床，它是將并聯(lián)機(jī)構(gòu)和串聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行合理的結(jié)合而成，是近年來世界上逐漸興起的一種新型結(jié)構(gòu)機(jī)床［1,2］。哈爾濱量具刃具集團(tuán)有限責(zé)任公司應(yīng)用于瑞典艾克斯康（Exechon）公司最新技術(shù)（并聯(lián)機(jī)構(gòu)Tripod）合作推出了一種全新結(jié)構(gòu)的機(jī)床LINKS-EXE700（以并聯(lián)機(jī)構(gòu)Tripod機(jī)構(gòu)為核心開發(fā)的加工中心命名為L(zhǎng)INKS-EXE700），該機(jī)床是一種典型的串并聯(lián)機(jī)床。它綜合了串聯(lián)機(jī)床和并聯(lián)機(jī)床的優(yōu)點(diǎn)，克服了兩者的不足之處，它具有：剛度高、承載能力強(qiáng)、機(jī)構(gòu)靈活度高、動(dòng)態(tài)性能好、響應(yīng)速度快、工作空間范圍大、重量輕、模塊化程度高、技術(shù)附加值高和結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單等很多突出的特點(diǎn)［3,4,5］。并引起了業(yè)內(nèi)外人士的極大興趣和廣泛關(guān)注。這是一項(xiàng)立足于中國(guó)制造，運(yùn)用國(guó)際先進(jìn)技術(shù)資源，面向全球市場(chǎng)的最新一代串并聯(lián)機(jī)床，也是近年來我國(guó)在國(guó)際機(jī)床領(lǐng)域的一項(xiàng)重大突破。

2 LINKS-EXE700機(jī)床結(jié)構(gòu)

    圖1為L(zhǎng)INKS-EXE700型串并聯(lián)加工中心，該型加工中心的并聯(lián)部分分別由兩路TPR(虎克鉸-移動(dòng)副-轉(zhuǎn)動(dòng)副)支路和一路SPR(球鉸-移動(dòng)副-轉(zhuǎn)動(dòng)副)支路連接上方的定平臺(tái)和下方的運(yùn)動(dòng)平臺(tái)。在下平臺(tái)的中部安裝一串聯(lián)機(jī)構(gòu)，兩關(guān)節(jié)皆為轉(zhuǎn)動(dòng)副。

                                 圖1   LINKS-EXE700型加工中心

3 Tripod機(jī)構(gòu)的自由度分析

    Tripod機(jī)構(gòu)的簡(jiǎn)圖如圖2所示。該機(jī)構(gòu)包括并聯(lián)部分和串聯(lián)部分，并聯(lián)部分由定平臺(tái)和動(dòng)平臺(tái)以及三個(gè)分支組成，其中有兩個(gè)分支的一端與定平臺(tái)用兩自由度虎克鉸連接，另一個(gè)分支的一端與定平臺(tái)用三自由度虎克鉸連接，三個(gè)分支的另一端分別與動(dòng)平臺(tái)用轉(zhuǎn)動(dòng)副連接，虎克鉸與轉(zhuǎn)動(dòng)副之間是移動(dòng)副；串聯(lián)部分由兩個(gè)軸線互相垂直的轉(zhuǎn)動(dòng)副組成。

                               圖2   Tripod機(jī)構(gòu)的機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖

    在三維空間中，每個(gè)完全不受約束的剛體或構(gòu)件有六個(gè)自由度，則 個(gè)剛體相對(duì)其中一個(gè)參照物共有6( -1)個(gè)自由度。當(dāng)所有的剛體間用 個(gè)具有 自由度的運(yùn)動(dòng)副聯(lián)接起來時(shí)，該機(jī)構(gòu)的自由度為：
                                                                (1)

    式中     F—機(jī)構(gòu)的自由度；

             n—構(gòu)件數(shù)；

             g—運(yùn)動(dòng)副數(shù)；

             fi—第i個(gè)運(yùn)動(dòng)副的相對(duì)自由度數(shù)。

    這就是著名的Kutzbach Grubler公式。

    對(duì)于Tripod機(jī)構(gòu)的并聯(lián)部分n=8、g=9，則由式(1)計(jì)算得到并聯(lián)部分的自由度 。而實(shí)際情況是機(jī)構(gòu)并聯(lián)部分的自由度是3，公式(1)失效。

    為了求出機(jī)構(gòu)并聯(lián)部分的自由度，本文采取了一種簡(jiǎn)單可行的方法，即按照機(jī)構(gòu)的組合過程一步一步地進(jìn)行分析。并聯(lián)部分的組合過程如圖3所示。

                               圖3   并聯(lián)部分的組合過程

    如圖3所示，當(dāng)形成第一步的機(jī)構(gòu)時(shí)，可以采用求平面機(jī)構(gòu)自由度的公式求解，此時(shí)有5個(gè)活動(dòng)構(gòu)件，6個(gè)低副，代入公式算得的自由度為3；由第一步到第二步多了兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副，變成了空間機(jī)構(gòu)，由于兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副的軸線重合，所以只引入了一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，此時(shí)機(jī)構(gòu)的自由度變成了4；由第二步到第三步多了兩個(gè)購(gòu)件，一個(gè)移動(dòng)副、一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副和一個(gè)三自由度虎克鉸，兩個(gè)不受任何約束的構(gòu)件有12個(gè)自由度，移動(dòng)副和轉(zhuǎn)動(dòng)副各約束掉5個(gè)自由度，虎克鉸約束掉3個(gè)自由度，因此這一步引入的自由度為-1，整個(gè)并聯(lián)部分的自由度變成了3。

    顯然，串聯(lián)部分具有兩個(gè)自由度。因此，Tripod機(jī)構(gòu)是一個(gè)具有五個(gè)自由度的串并聯(lián)機(jī)構(gòu)。

4 Tripod機(jī)構(gòu)的工作空間分析

    工作空間是指機(jī)床正常工作時(shí)，末端執(zhí)行器在空間活動(dòng)的最大范圍。工作空間從幾何方面描述機(jī)床的工作能力，是并聯(lián)機(jī)床性能的重要指標(biāo)和進(jìn)行機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)、運(yùn)動(dòng)規(guī)劃的重要依據(jù)。工作空間研究的基本問題是給出某一結(jié)構(gòu)形式和結(jié)構(gòu)參數(shù)的機(jī)床，求其工作空間的大小和形狀。對(duì)于本文的機(jī)構(gòu)，其工作空間的大小主要由運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)空間決定，因此，本文主要分析運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的可達(dá)空間。

    考慮到并聯(lián)機(jī)構(gòu)位置逆解容易、正解難的特點(diǎn)，根據(jù)機(jī)構(gòu)的位置反解方程，可采用快速極坐標(biāo)搜索法進(jìn)行工作空間邊界的搜索，然后根據(jù)工作空間邊界計(jì)算工作空間的體積。

4.1 機(jī)構(gòu)工作空間的邊界搜索

    對(duì)于Stewart平臺(tái)機(jī)構(gòu)以及由其演化而來的其它并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間主要受以下幾個(gè)方面的限制^[6] ：

    (1) 各驅(qū)動(dòng)桿長(zhǎng)度的限制：并聯(lián)機(jī)構(gòu)各驅(qū)動(dòng)桿的長(zhǎng)度變化范圍是有限的，這里用和來表示第桿的最大值和最小值，則桿長(zhǎng)的約束可以用下式來表示
                                                                         (2)

    當(dāng)某一桿長(zhǎng)達(dá)到極限時(shí)，運(yùn)動(dòng)平臺(tái)上的給定的參考點(diǎn)也就到達(dá)了工作空間的邊界。

    (2) 運(yùn)動(dòng)副轉(zhuǎn)角的限制：連接上下平臺(tái)與各驅(qū)動(dòng)桿的球鉸、虎克鉸以及轉(zhuǎn)動(dòng)副的轉(zhuǎn)角范圍都要受到結(jié)構(gòu)的限制，因此，在對(duì)機(jī)構(gòu)進(jìn)行工作空間分析時(shí)，必須考慮運(yùn)動(dòng)副的最大轉(zhuǎn)角。運(yùn)動(dòng)副的轉(zhuǎn)角是由與運(yùn)動(dòng)副的基座固結(jié)的坐標(biāo)系的Z軸和表示與運(yùn)動(dòng)副連接的桿的向量來確定的。如圖4所示，li表示沿驅(qū)動(dòng)桿方向的向量，nRi和nTi分別表示與各運(yùn)動(dòng)副的基座固結(jié)的坐標(biāo)系Z軸方向的單位矢量。這樣，運(yùn)動(dòng)副的轉(zhuǎn)角約束條件可以用下式來表示

                                圖4   運(yùn)動(dòng)副轉(zhuǎn)角的約束
                                                         (3)
                                                        (4)

    式中，和分別是球鉸和虎克鉸的最大轉(zhuǎn)角。

    3) 桿間的相互干涉：因?yàn)檫B接上下平臺(tái)的連桿是有一定的尺寸大小的，因此，各桿之間有可能發(fā)生干涉。為了討論方便，這里假設(shè)各桿都是圓柱形的，其直徑為D，若Di為兩相鄰桿中心線之間的最短距離，那么，兩桿不發(fā)生干涉的條件為：
                                                                              (5)

    由于Tripod機(jī)構(gòu)并聯(lián)部分只有三個(gè)驅(qū)動(dòng)桿，桿間發(fā)生干涉的可能性很小，所以進(jìn)行工作空間搜索時(shí)只需考慮桿長(zhǎng)限制和運(yùn)動(dòng)副轉(zhuǎn)角限制兩個(gè)約束條件即可。工作空間搜索步驟如下：

    （1）給定機(jī)構(gòu)基本結(jié)構(gòu)參數(shù)，最大桿長(zhǎng)、最小桿長(zhǎng)、運(yùn)動(dòng)副最大轉(zhuǎn)角、。

    （2）令從開始以一定步長(zhǎng)增長(zhǎng)，在平面內(nèi)，使用極坐標(biāo)表示、，則，。為搜索極徑， 為極徑與x軸正向的夾角，且設(shè)逆時(shí)針方向?yàn)檎?BR>
    （3）給定一個(gè)值后，令從0以步長(zhǎng)遞增，直至機(jī)構(gòu)的各桿長(zhǎng)及運(yùn)動(dòng)副的轉(zhuǎn)角超出所約束的極限值，輸出、、。此點(diǎn)即為平面內(nèi)， 方向上工作空間的邊界點(diǎn)。

    （4）令，重復(fù)步驟(3)，直至搜索出平面內(nèi)所有邊界點(diǎn)。的取值范圍為 0°~360°。

    （5）令直至 ，當(dāng)確定一個(gè) 值后，重復(fù)(3)、(4)步，這樣就可確定出機(jī)構(gòu)的整個(gè)工作空間邊界。工作空間搜索流程如圖5所示。

                                圖5   工作空間搜索流程圖

4.2 機(jī)構(gòu)工作空間體積的計(jì)算

    工作空間的大小通常用其體積V的值來定量衡量。由于其工作空間是不規(guī)則的幾何形體，所以其體積無法用解析法精確的求得，只能通過數(shù)值方法來近似逼近。基本的思想是：先將工作空間用平行于XY平面的平面分割成若干厚度為的微分子空間，若足夠小，則這些子空間可近似看作高度為的柱體，將這些微分子空間的體積累加起來就近似等于機(jī)構(gòu)工作空間的體積。

    每個(gè)微分子空間底面邊界上的任意一點(diǎn)P都可用極坐標(biāo)來表示，則，。如圖6所示，設(shè)是微分子空間底面邊界上的起始點(diǎn)，然后給極角△一增量后，得到下一邊界點(diǎn)，如此進(jìn)行下去，便可確定出此微分子空間底面的所有邊界點(diǎn)，依據(jù)這些邊界點(diǎn)可將微分子空間底面分成若干夾角為的形如扇形的微分子區(qū)域，若足夠小，則每個(gè)微分子區(qū)域的面積可借助扇形公式近似求得，即
     (  )                                           (6)  

    這樣每個(gè)微分子空間的體積可借助柱體的體積公式求得，即
    (  )            (7)

    于是機(jī)構(gòu)工作空間的體積V可近似求得，即
    (  )              (8)

                               圖6   機(jī)構(gòu)微分子工作空間截面

    由以上分析可知機(jī)構(gòu)的工作空間體積的計(jì)算精確度與增量的大小有關(guān)，增量越小，計(jì)算結(jié)果越精確。但隨著增量的減小，計(jì)算量將成倍的增加，因此，確定增量的取值大小時(shí)，應(yīng)考慮實(shí)際情況，適當(dāng)選取。

    以LINKS-EXE700為例，其結(jié)構(gòu)參數(shù)及運(yùn)算過程中的搜索變量如下：
    ，
    ，，
    ，，
   
    
   
    ，
    ，
    ，
    經(jīng)過運(yùn)算，并利用MATLAB的圖形功能描繪出的機(jī)構(gòu)工作空間的輪廓如圖7所示。

                               圖7   機(jī)構(gòu)工作空間輪廓圖

    圖7是工作空間的三維立體圖和工作空間在XY平面上的投影圖。同時(shí)，經(jīng)過運(yùn)算得出機(jī)構(gòu)的工作空間可達(dá)1431×109 mm3，查閱有關(guān)參考文獻(xiàn)可知，一般并聯(lián)機(jī)床的工作空間遠(yuǎn)不及這個(gè)數(shù)值，如文獻(xiàn)[7]中的并聯(lián)機(jī)床的工作空間的體積為 0.607×109 mm3，這說明Tripod機(jī)構(gòu)具有較大的工作空間。

5 小結(jié)

    本文介紹了LINKS-EXE700型串并聯(lián)加工中心的構(gòu)型及特點(diǎn)，并根據(jù)機(jī)構(gòu)的組合過程分析了機(jī)構(gòu)的自由度，對(duì)LINKS-EXE700型串并聯(lián)加工中心工作空間的搜索算法進(jìn)行了研究，并計(jì)算了工作空間的大小，總結(jié)了LINKS-EXE700型串并聯(lián)加工中心相對(duì)于其他并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有更大工作空間的原因。


參考文獻(xiàn)

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