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資訊頻道廈門大學航空航天學院 王曉光，吳軍，王家駿
摘要：繩牽引并聯機器人采用繩索作為驅動，具有慣性小、運動空間較 大、動態性能良好等優點，成為一種新的機構。其中，欠約束繩牽引并聯機器人繩數量少于自由度數，運動具有不確定性，在康復醫療、飛行器試驗等方面具有一定應用潛力。其運動學分析與控制是應用中的核心技術問題，如何高效地求解運動學問題和實現高精度運動控制是研究熱點。本文針對欠約束繩牽引并聯機器人的發展現狀，對其運動學分析與控制方法的進展進行了細致分析和總結。最后，對欠約束繩牽引并聯機器人的未來研究方向進行展望。
關鍵詞：繩牽引并聯機器人；欠約束；運動學；控制
Abstract: Cable driven parallel robot (CDPR) is a special kind of parallel robot in which traditional rigid links are replaced by actuated cables. This has produced some advantages, such as small inertial force, motion flexibility and so on, which have attracted the attention of researches. The under-constrained CDPR with fewer cables and more degrees of freedom, has the characteristics of motion uncertainties, which provide potential application for gait rehabilitation and aircraft wind tunnel tests. Kinematic analysis and motion control are the core technical problems in its application, and how to solve the kinematic problems efficiently and realize the high-precision motion control is the hot spot of its research. This paper analyzes and summarizes the progress of kinematic analysis and control methods for the development of under-constrained cabledriven parallel robot in detail. Finally, the future research directions of under-constrained cable-driven parallel robot are prospected.
Key words: Cable-driven parallel robot; Under-constrained; Kinematics; Control
1 引言
繩牽引并聯機器人（Cable-Driven Parallel Robot，CDPR）是一種采用繩索代替傳統剛性桿來控 制末端執行器位姿的一種新型機器人，具有結構簡單、慣性小、運動空間較大、剛度較大以及動態性能良好等優點，是傳統“硬式支撐”串聯支撐機器人無法比擬的。在工程實踐中，這種新型的并聯支撐機器人非常適用于吊車、機械加工、天文望遠鏡等領域，已經逐漸成為國內外研究的一大熱點，廣泛應用于航空、工業和軍事等領域。根據牽引繩索數目m和并聯機器人自由度數目n之間的關系，CDPR可以分為三種類型：欠約束CDPR（m<n+1）、完全約束CDPR（m=n+1）以及冗余約束CDPR（m>n+1）[1]。截至目前，國內外已經有大量研究團隊針對完全約束的CDPR開展了細致的研究并取得了一批矚目的成果。本文主要針對欠約束CDPR，數量有限的CDPR減少了受控的自由度，降低了整個系統的復雜性以及繩間相互干擾的可能性，可應用于多種工程實踐，如貨物運輸、醫療康復[2~3]（如圖 1所示）、風洞試驗[[4~5]（如圖2所示），因此對欠約束CDPR的研究具有重大意義。
圖1 繩驅動康復機器人
圖2 雙索懸掛支撐系統示意圖
欠約束CDPR由于其繩索不完全約束，即使在繩長給定不變的情況下，末端執行器依然可以運動，即動平臺放開了一定的自由度。換句話說，欠約束類型的機構釋放了一部分自由度。當給定動平臺期望軌跡指令或者通過主動控制，如控制飛行器模型舵面等方式，可以實現動平臺特定方向上的自由運動或者強迫+自由運動。這對于患者進行主動康復，或在風洞虛擬飛行試驗中研究飛行器模型的氣動、運動和控制之間的耦合關系等提供了支持。以風洞試驗需求為例，在某些特定的情況下，需要研究飛行器模型在受迫+自由運動下的響應情況，例如模型在做俯仰振蕩時的滾轉和偏航角運動，從而更深層次地研究飛行器模型的氣動特性，這對于掌握模型位姿之間的耦合關系和設計飛行控制律具有非常重要的意義，故這種情況下需要采用欠約束類型的支撐方式。將欠約束CDPR做上述應用時，需要重點關注欠約束系統的運動學分析和運動控制兩個核心問題。
本文首先簡要描述欠約束CDPR的運動特性，指出運動學求解算法和運動控制律設計這兩類關鍵問題。其次，分別闡述欠約束CDPR系統幾何學與靜力學之間的耦合求解方法現狀以及運動控制研究現狀。最后，對欠約束繩牽引并聯機器人未來的研究方向進行展望。
2 欠約束CDPR運動描述
以四繩驅動欠約束CDPR為例，如圖3所示的結構示意圖，其中表示支撐框架上驅動繩索的引出點， 表示繩索在動平臺（以飛機模型為例）上的牽引點，動平臺在四根繩索的驅動下實現運動。
圖3 欠約束CDPR結構示意圖
為方便建立欠約束CDPR的運動學模型，分別在框架和動平臺上建立靜坐標系和動坐標系，則第i根繩的繩長表達式如式（1）所示：
式（1）中，是模型質心到靜坐標系質心的坐標表示 ； 是牽引點相對于動坐標系原點的向量； 為從動坐標系到靜坐標系的坐標轉換的旋轉變換矩陣。當系統處于靜平衡狀態時，滿足力平衡方程如式（2）所示：
其中， 為系統的Jacobian矩陣，為繩拉力矢量，為廣義外力矢量。系統動力學是描述末端執行器的運動與其受到的繩拉力和外部力之間的關系，其建模主要是為了運動控制的需要，以實現動平臺的位姿變化。這里忽略繩索的質量和彈性等因素，采用Newton-Euler法，建立動平臺的動力學方程，可以表示為矩陣形式：
其中，為慣性矩陣，為動平臺位姿矢量，為重力矢量，為非線性哥氏離心力矩陣。進一步考慮驅動子系統，即可得到系統完整的動力學方程組。
欠約束CDPR的運動學分析主要聚焦于其動平臺位姿和繩索長度以及繩拉力之間的關系。與冗余約束系統不同的是，欠約束系統由于其牽引繩索的數目小于模型的自由度數目，導致在分析其機構運動學時存在一個難點：即使欠約束系統的各繩長長度給定，在外力作用下，末端動平臺的姿態依然可以運動。即末端動平臺的姿態是由繩索長度和外力大小這兩個條件共同決定的。因此，欠約束系統的運動幾何問題與靜力平衡問題需要同時求解，與此同時，還需要保證每根繩索的拉力都是正值才可以實現有效運動。
進行運動學求解時，需要根據式（1）和動平臺的靜力平衡方程式（2），構建幾何靜力方程組，進而求解運動學正/逆解問題。該方程組中一共有m+6個方程，m為繩索數量。通過數值考慮欠約束繩CDPR位置和姿態的變化，其模型的自由度數目為6，即n=6。可以看出，耦合方程組中共包括了m+6個子方程，其中共含有2m+6個變量，這些變量由動平臺位姿中的6個變量以及繩長和繩拉力的2m個變量組成。如果已知其中m個變量，通過該方程組就可以求出其他變量的有限解集。由此可以定義欠約束運動學的兩種問題：已知m根繩長求解未知繩拉力與位姿變量的正幾何靜力問題和已知m個位姿求解未知繩拉力與繩長變量的逆幾何靜力問題。
3 欠約束CDPR運動學研究現狀
針對上述運動學問題，近年來，意大利的Carricato 等在欠約束CDPR的正/逆幾何靜力學的求解上做出了 較大貢獻。最初，Carricato等指出欠約束CDPR的運動學與靜力學本質上是耦合的，需要同時求解。提出了一種原始的幾何靜態模型用來解決欠約束CDPR的正幾何靜力學問題，創造性地通過依靠Groebner基和 Sylvester方程混合消元的方法對三根繩牽引的并聯機器人展開研究，證明了該機構的正幾何靜力學具有多達156個解[6]，但其求解階數過高，過程復雜。隨后，采用Dietmaier算法解決了正運動學的解中存在復數解的問題，并開發了以遺傳算法和粒子群優化為基礎的程序，最大化了實數解的數量，提供了56個具有實際物理意義的正幾何靜力學問題的實數解[7]。并進一步在原有靜態幾何模型的基礎上，提出了一種在約束優化問題框架內評估靜態穩定性的算法，該算法只依賴于線性代數方程，能應用于普遍的平面和空間體系機構，穩定性算法的通用性通過兩繩、三繩和四繩CDPR的算例得到了證明[8]。此外，還分析了四根繩牽引的并聯機器人的逆幾何靜力學問題，分析了移動平臺姿態或是質心位置被確定這兩種實例，分別用Sylvester方程和基于Groebner基的算法得到逆運動學問題的實數解[9]。為了得到更具有一般意義下的求解算法，他們研究了n（n≤6）根繩牽引的并聯機器人正幾何靜力學問題，該問題由一組代數方程建模，找到相應的理想中最小階數的單變量多項式，這個多項式一方面為尋找正幾何靜力學復數解的解決方案設置了一個確切的界限，另一方面提供了一個基準來驗證Groebner基和Sylvester方程混合消元法的有效性。首次為欠約束CDPR正幾何靜態優化設計問題開發了DGP-solver軟件包，該軟件包的顯著特點是只要以機構的幾何尺寸、繩索長度、外力大小為輸入，便能找到所有正幾何靜態問題的解，包括其中某些繩索松弛的情況[10]，但該算法沒有包含繩拉力約束等條件，需要進一步后處理，才能確定解的有效性。Berti等[1] 提出基于區間分析的方法，求解欠約束CDPR正幾何靜力學問題，區間分析法保證了這些解可以對數值錯誤進行糾錯，即結合欠約束CDPR的實際物理意義給出特定的約束條件，例如繩索張力值只能為正。為了同時考慮繩拉力的約束，文獻[11~12]采用神經網絡等方法將其轉化為優化問題，進行運動學求解。
而國內研究欠約束繩牽引并聯機構的內容目前還相對較少。針對欠約束CDPR的工作空間問題，桑建等針對一種由六根繩索牽引的欠約束并聯機構，提出了一種維數縮減法進行計算，并利用MATLAB進行仿真，根據工作空間評價指標得到機構參數的最佳組合和機構的最大工作空間[14]。劉欣等則針對不同約束條件下的CDPR，提出了一種可以用于三種不同情況下的求解其工作空間的算法[15]。鄭亞青和江曉玲指出欠約束CDPR屬于微分平坦化系統，即系統的內部變量和驅動系統的輸入量都可以通過經過平坦化輸出的繩向量和其低階導數以代數的形式進行表示，并通過3-3（3 繩牽引，3自由度）CDPR實例仿真給出證明，同時尋找其平坦輸出[16]。鄭亞青和江曉玲進行了更為細致的研究，考慮到繩索自身重力作用，采用懸鏈線方程對四根繩牽引的6自由度欠約束并聯機器人進行運動學和靜力學分析后得出該機構的靜剛度矩陣，通過最小二乘支持矢量機回歸的方法求出該并聯機器人在平動方向上的靜剛度變化，并通過該方法優化系統的機械結 構，從而提高該系統的靜剛度[17]。通過結合其他算法的優勢，趙志剛等通過將最小二乘法和蒙特卡羅算法結合，提出一種綜合算法，對多機器人的欠約束系統進行靜平衡工作空間的求解[18]。
由上述可知，截止目前，國內外學者們主要針對于欠約束CDPR正/逆運動學的求解以及工作空間的計算問 題，進行算法上的改進與提高。但目前提出的算法還都較為復雜或沒有考慮約束條件的影響，因此，結合其他 算法思想，研究一種智能高效的求解算法解決運動學問題是非常有必要的。
4 欠約束CDPR運動控制研究現狀
CDPR的控制技術是確保機器人系統能夠穩定工作的核心技術之一，采用柔性繩取代剛性桿作為并聯機 器人的驅動關節，使得CDPR相比于傳統的剛性并聯機器人在運動控制方面具有了更多可研究的問題和更大 的挑戰。
目前針對CDPR軌跡跟蹤控制的研究已經較為成熟，國內外學者針對其運動控制方法展開了深入的研 究。整體而言，CDPR的控制策略可以分為兩類，即基于繩長或編碼器的連接空間或驅動空間的控制，以及基 于末端執行器位姿測量的任務空間的控制，分別屬于半閉環控制與全閉環控制，如圖4、圖5所示。
圖4 半閉環控制系統
圖5 全閉環控制系統
已有文獻大多是針對冗余約束CDPR的研究。國外，Alireza等針對動態不確定性的CDPR提出了一種魯棒自適應控制器，設計了使用傅里葉級數展開的基于函數逼近技術的自適應控制律，可以自適應地學習機器人和執行器動力學中的不確定項，采用李雅普諾夫理論證明系統的穩定性，并通過在平面繩驅動并聯機器人上的仿真證明該控制方法的準確性[19]。Joao等針對低速工作的大尺寸繩索驅動并聯機器人設計了一種模型預測控制策略，并將其與兩種常用的滑模控制和PID+控制方法的性能進行比較，仿真表明該控制策略具有更高的外部干擾抑制性能[20]。Meysar等針對 CDPR提出了一種高性能魯棒控制器，其將滑模控制、PID控制和自適應控制方法結合在一起，在模型不確定性存在的情況下，對CDPR進行軌跡跟蹤控制，并通過仿真和實驗證明該方法可以很好地抑制不確定性對運動控制的影響[21]。Alireza等為減小不確定性對具有三自由度平移運動的大型繩驅動機器人的影響，提出一種雙積分滑模控制策略來減小穩態誤差，并通過數值仿真模擬證明控制方法的有效性[22]。Hassan等提出了一種基于視覺的平面繩驅動并聯機器人的位置控制的實現方法，在控制過程中基于視覺反饋來跟蹤末端執行器的位置，為提高控制性能，選取自適應滑模控制器，自適應規則通過遞歸最小二乘法精確辨識模型，并通過實驗測試驗證了該方法的可行性[23]。Christian等針對滑模控制常見的抖振問題，提出了一種魯棒自適應滑模控制方法，該方法結合了基于增益自適應律 的Super Twisting控制器，通過前饋動態反轉來減少不連續控制，從而提高了性能，進一步減少抖振[24]。國內，仇原鷹等針對繩牽引攝像機器人高速運動情況下的穩定問題，設計了一種基于末端執行器位置空間的PD前饋控制律，并采用李雅普諾夫第二法證明了該控制器的穩定性，但最后僅進行了數值仿真，并未進行實驗驗證[25]。唐曉強、王明義等基于繩拉力優化后的結果，提出了一種力/位混合控制策略，對火箭推力的輸出和低重力下月球車的發射和著陸過程進行模擬[26~27]。鄭亞青等人針對繩牽引并聯機構在風洞試驗中的應用，設計了一種基于繩長空間的控制器來控制飛行器模型的位姿，并采用李雅普諾夫第二法證明了該控制器是穩定的[28]。尚偉偉針對動態運動過程中各繩索之間的同步運動問題，在繩長空間基于末端執行器的跟蹤誤差與同步誤差設計了一種復合控制器，以實現各支路間運動的同步，從而減小末端執行器的軌跡跟蹤誤差，并通過在三自由度CDPR上的實驗驗證了該控制方法的可行性[29]。林麒、王曉光等針對應用在風洞試驗中的八繩牽引6自由度并聯支撐系統提出了基于RBF神經網絡補償的自適應控制器和考慮繩彈性變形的自適應滑模控制器，采用李雅普諾夫第二法證明了所提出控制器是穩定的，并通過仿真結果說明了控制方法的準確性[30~31]。吳洪濤等針對具有幾種不確定條件下的繩驅動機械臂的控制問題，提出并研究了一種基于時間延遲估計的連續分數階非奇異終端滑模控制器，時間延遲估計通過特定的時間延遲信號適當抵消未知動力學，分數階滑模控制器確保能夠有限時間收斂，同時保證了高精度，最后通過兩自由度的仿真和實驗證明了所提出方案的有效性[32]。
而對欠約束CDPR運動控制的研究內容還相對較少，其主要原因是針對欠約束并聯機構的強迫+自由運動，控制欠約束CDPR的繩索數目少于末端執行器的自由度數目，導致了在欠約束機構上采用通過驅動電機改變繩長來控制模型位姿的方法存在較大的挑戰。Yamamoto等對比了冗余約束和欠約束繩牽引并聯機構，提出了基本的動力學方程，討論了欠約束繩牽引 并聯機構的性質，利用基本方程，提出了一種基于逆動力學精確線性化的欠約束繩牽引并聯機構的反饋控制方法，通過數值仿真和實驗驗證了所提出方法的有效性 [33]。Heyden等針對典型的繩牽引并聯CABLEV機構，提出了平面系統的概念，根據末端動平臺的期望軌跡及其關于時間的導數，通過代數的方法計算需要的控制力，得出前饋控制項，再通過準靜態狀態反饋法對系統的非線性動力學進行線性化，實現了該系統漸進穩定的軌跡跟蹤行為[34]。Sung等針對欠約束繩牽引機構由于約束不完全導致的末端容易擺動的問題，提出了一種基于零振動的輸入整形方案，對控制輸入進行整形，從而減少了不必要振蕩的軌跡，并通過仿真和實驗證明了該方法的有效性[35]。Barbazza針對繩索牽引的平面欠約束宏-微機器人，選用一種差分平滑方法實現系統的點到點的軌跡控制；并提出一個多目標優化框架，通過設計參數實現最小化的系統運動時間和控制力，通過這個框架能夠很快推斷出參數設計對系統動態性能的影響[36]。
由上述可以看出，雖然文獻[33~36]針對欠約束機構的運動控制展開了研究，但其應用一般都在運輸類行業，旨在實現簡單的運動軌跡，而且運動過程中所受到的干擾較小。因此，針對某些復雜應用，如作為風洞試驗的欠約束繩牽引并聯支撐系統，無論是進行自由運動，還是進行受迫+自由運動，設計合適的運動控制器對于后續的理論分析與試驗驗證均具有十分重要的意義。
5 研究展望
基于欠約束CDPR技術在實際中的應用，以及運動學分析與控制研究現狀，其發展趨勢可歸納為兩個方面：
（1）可重構。為進一步改善機構的靈活性、增大有效工作空間，可采用可重構繩牽引并聯機器人。可重構性可以體現在多個方面，例如繩與滑輪連接點的位置可變、應用過程中繩索使用的數量可變、繩索導 向機構位置可變，以及移動平臺形狀可多樣化等，極大地擴展了CDPR的組成與內涵，同時也增強了其功能。此外，實際應用中對CDPR具備可重構性的需求也越來越迫切。以CDPR在風洞試驗中的應用為例，其作為一種新型支撐方式可以滿足靜態、動態風洞試驗的需求，但對飛行器模型的大迎角機動，大幅值振蕩等而言，需要相應改變滑輪連接點的位置，在滿足剛度情況下以獲取更大工作空間，同時避免干涉情況。再者，在醫療康復領域或機械加工行業，往往需要機構本身具有一定的自適應性，根據任務要求，實現方便、準確自調整的目的。
（2）智能化。為進一步提高運行效率和精度，CDPR智能化將是發展的一個重要方向。主要基于系統動力學機理與穩定性研究，結合計算機視覺測量技術，如采用三維圖像信息處理與運動估計，提高動平臺的位姿測量精度與實時性；采用先進理論算法與智能控制方法，合理規劃末端執行器的運動軌跡，實現動平臺的自適應魯棒控制。
作者簡介：
王曉光（1984-），河南漯河人，副教授，碩士生導師，現任教于廈門大學航空航天學院飛行器系，研究方向是繩系并聯機器人技術及其應用。
吳 軍（1995-），安徽池州人，碩士，現就讀于廈門大學航空航天學院飛行器系，研究方向是繩系并聯機器人控制技術。
王家駿（1994-），福建泉州人，碩士，現就讀于廈門大學航空航天學院飛行器系，研究方向是繩系并聯機器人控制技術。
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摘自《自動化博覽》2021年6月刊
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